Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 82911 / 20171
↖ ↑ ↗
← N 77.032641°
E 47.721863°		 ← 68.54 m → N 77.032641°
E 47.724610°		 →
↑
68.55 m
↓
↑
68.55 m
↓
N 77.032024°
E 47.721863°		 ← 68.54 m →
4 698 m²		 N 77.032024°
E 47.724610°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 82911 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20171 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.632564544677734 y=0.153896331787109 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.632564544677734 × 217)
    floor (0.632564544677734 × 131072)
    floor (82911.5)     		tx = 82911
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.153896331787109 × 217)
    floor (0.153896331787109 × 131072)
    floor (20171.5)     		ty = 20171
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 82911 / 20171 ti = "17/82911/20171"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/82911/20171.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 82911 ÷ 217
    82911 ÷ 131072     		x = 0.632560729980469
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20171 ÷ 217
    20171 ÷ 131072     		y = 0.153892517089844
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.632560729980469 × 2 - 1) × π
    0.265121459960938 × 3.1415926535     		Λ = 0.83290363
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.153892517089844 × 2 - 1) × π
    0.692214965820312 × 3.1415926535     		Φ = 2.17465745126385
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.83290363} λ = 0.83290363}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.17465745126385))-π/2
    2×atan(8.79917046116226)-π/2
    2×1.45763476876325-π/2
    2.91526953752649-1.57079632675     		φ = 1.34447321
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.83290363} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 47.721863°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.34447321 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.032641°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 82911 KachelY 20171 0.83290363 1.34447321 47.721863 77.032641
    Oben rechts KachelX + 1 82912 KachelY 20171 0.83295157 1.34447321 47.724610 77.032641
    Unten links KachelX 82911 KachelY + 1 20172 0.83290363 1.34446245 47.721863 77.032024
    Unten rechts KachelX + 1 82912 KachelY + 1 20172 0.83295157 1.34446245 47.724610 77.032024
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.34447321-1.34446245) × R
    1.07600000001096e-05 × 6371000     		dl = 68.5519600006981m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.34447321-1.34446245) × R
    1.07600000001096e-05 × 6371000     		dr = 68.5519600006981m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.83290363-0.83295157) × cos(1.34447321) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.22439593292084 × 6371000     		do = 68.5362938652931m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.83290363-0.83295157) × cos(1.34446245) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.224406418506956 × 6371000     		du = 68.5394964331917m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.34447321)-sin(1.34446245))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.22439593292084-0.224406418506956)×R²
    abs(0.83295157-0.83290363)×1.04855861153275e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.04855861153275e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.04855861153275e-05×40589641000000     		ar = 4698.40704685256m²