Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 82906 / 20173
↖ ↑ ↗
← N 77.031408°
E 47.708130°		 ← 68.53 m → N 77.031408°
E 47.710876°		 →
↑
68.55 m
↓
↑
68.55 m
↓
N 77.030792°
E 47.708130°		 ← 68.53 m →
4 698 m²		 N 77.030792°
E 47.710876°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 82906 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20173 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.632526397705078 y=0.153911590576172 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.632526397705078 × 217)
    floor (0.632526397705078 × 131072)
    floor (82906.5)     		tx = 82906
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.153911590576172 × 217)
    floor (0.153911590576172 × 131072)
    floor (20173.5)     		ty = 20173
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 82906 / 20173 ti = "17/82906/20173"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/82906/20173.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 82906 ÷ 217
    82906 ÷ 131072     		x = 0.632522583007812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20173 ÷ 217
    20173 ÷ 131072     		y = 0.153907775878906
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.632522583007812 × 2 - 1) × π
    0.265045166015625 × 3.1415926535     		Λ = 0.83266395
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.153907775878906 × 2 - 1) × π
    0.692184448242188 × 3.1415926535     		Φ = 2.17456157746461
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.83266395} λ = 0.83266395}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.17456157746461))-π/2
    2×atan(8.79832689169874)-π/2
    2×1.45762401141545-π/2
    2.91524802283091-1.57079632675     		φ = 1.34445170
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.83266395} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 47.708130°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.34445170 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.031408°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 82906 KachelY 20173 0.83266395 1.34445170 47.708130 77.031408
    Oben rechts KachelX + 1 82907 KachelY 20173 0.83271188 1.34445170 47.710876 77.031408
    Unten links KachelX 82906 KachelY + 1 20174 0.83266395 1.34444094 47.708130 77.030792
    Unten rechts KachelX + 1 82907 KachelY + 1 20174 0.83271188 1.34444094 47.710876 77.030792
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.34445170-1.34444094) × R
    1.07600000001096e-05 × 6371000     		dl = 68.5519600006981m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.34445170-1.34444094) × R
    1.07600000001096e-05 × 6371000     		dr = 68.5519600006981m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.83266395-0.83271188) × cos(1.34445170) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.224416894322157 × 6371000     		do = 68.5283984163926m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.83266395-0.83271188) × cos(1.34444094) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.224427379856333 × 6371000     		du = 68.5316003003942m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.34445170)-sin(1.34444094))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.224416894322157-0.224427379856333)×R²
    abs(0.83271188-0.83266395)×1.04855341757637e-05×R²
    4.79299999999183e-05×1.04855341757637e-05×6371000²
    4.79299999999183e-05×1.04855341757637e-05×40589641000000     		ar = 4697.86577484061m²