Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 82904 / 20151
↖ ↑ ↗
← N 77.044961°
E 47.702637°		 ← 68.47 m → N 77.044961°
E 47.705383°		 →
↑
68.49 m
↓
↑
68.49 m
↓
N 77.044346°
E 47.702637°		 ← 68.48 m →
4 690 m²		 N 77.044346°
E 47.705383°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 82904 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20151 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.632511138916016 y=0.153743743896484 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.632511138916016 × 217)
    floor (0.632511138916016 × 131072)
    floor (82904.5)     		tx = 82904
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.153743743896484 × 217)
    floor (0.153743743896484 × 131072)
    floor (20151.5)     		ty = 20151
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 82904 / 20151 ti = "17/82904/20151"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/82904/20151.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 82904 ÷ 217
    82904 ÷ 131072     		x = 0.63250732421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20151 ÷ 217
    20151 ÷ 131072     		y = 0.153739929199219
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.63250732421875 × 2 - 1) × π
    0.2650146484375 × 3.1415926535     		Λ = 0.83256807
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.153739929199219 × 2 - 1) × π
    0.692520141601562 × 3.1415926535     		Φ = 2.17561618925625
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.83256807} λ = 0.83256807}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.17561618925625))-π/2
    2×atan(8.807610605482)-π/2
    2×1.45774228698086-π/2
    2.91548457396172-1.57079632675     		φ = 1.34468825
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.83256807} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 47.702637°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.34468825 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.044961°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 82904 KachelY 20151 0.83256807 1.34468825 47.702637 77.044961
    Oben rechts KachelX + 1 82905 KachelY 20151 0.83261601 1.34468825 47.705383 77.044961
    Unten links KachelX 82904 KachelY + 1 20152 0.83256807 1.34467750 47.702637 77.044346
    Unten rechts KachelX + 1 82905 KachelY + 1 20152 0.83261601 1.34467750 47.705383 77.044346
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.34468825-1.34467750) × R
    1.07499999999483e-05 × 6371000     		dl = 68.4882499996706m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.34468825-1.34467750) × R
    1.07499999999483e-05 × 6371000     		dr = 68.4882499996706m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.83256807-0.83261601) × cos(1.34468825) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.224186371671755 × 6371000     		do = 68.472288465716m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.83256807-0.83261601) × cos(1.34467750) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.224196848031416 × 6371000     		du = 68.4754882156178m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.34468825)-sin(1.34467750))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.224186371671755-0.224196848031416)×R²
    abs(0.83261601-0.83256807)×1.04763596601998e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.04763596601998e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.04763596601998e-05×40589641000000     		ar = 4689.65678301274m²