Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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11 / 829 / 180
↖ ↑ ↗
← N 81.413933°
W 34.277344°		 ← 2 918.11 m → N 81.413933°
W 34.101563°		 →
↑
2 922.51 m
↓
↑
2 922.51 m
↓
N 81.387650°
W 34.277344°		 ← 2 926.98 m →
8 541 158 m²		 N 81.387650°
W 34.101563°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 11 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 829 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 180 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.405029296875 y=0.088134765625 und der Vergrößerungsstufe zoom=11 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.405029296875 × 211)
    floor (0.405029296875 × 2048)
    floor (829.5)     		tx = 829
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.088134765625 × 211)
    floor (0.088134765625 × 2048)
    floor (180.5)     		ty = 180
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 11 / 829 / 180 ti = "11/829/180"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/11/829/180.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 829 ÷ 211
    829 ÷ 2048     		x = 0.40478515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 180 ÷ 211
    180 ÷ 2048     		y = 0.087890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.40478515625 × 2 - 1) × π
    -0.1904296875 × 3.1415926535     		Λ = -0.59825251
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.087890625 × 2 - 1) × π
    0.82421875 × 3.1415926535     		Φ = 2.58935956987695
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.59825251} λ = -0.59825251}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.58935956987695))-π/2
    2×atan(13.3212375489521)-π/2
    2×1.4958687597843-π/2
    2.99173751956859-1.57079632675     		φ = 1.42094119
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.59825251} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -34.277344°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.42094119 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 81.413933°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 829 KachelY 180 -0.59825251 1.42094119 -34.277344 81.413933
    Oben rechts KachelX + 1 830 KachelY 180 -0.59518455 1.42094119 -34.101563 81.413933
    Unten links KachelX 829 KachelY + 1 181 -0.59825251 1.42048247 -34.277344 81.387650
    Unten rechts KachelX + 1 830 KachelY + 1 181 -0.59518455 1.42048247 -34.101563 81.387650
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.42094119-1.42048247) × R
    0.000458719999999913 × 6371000     		dl = 2922.50511999944m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.42094119-1.42048247) × R
    0.000458719999999913 × 6371000     		dr = 2922.50511999944m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.59825251--0.59518455) × cos(1.42094119) × R
    0.00306795999999998 × 0.149294894358631 × 6371000     		do = 2918.11399805882m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.59825251--0.59518455) × cos(1.42048247) × R
    0.00306795999999998 × 0.149748457629629 × 6371000     		du = 2926.97933358011m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.42094119)-sin(1.42048247))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.149294894358631-0.149748457629629)×R²
    abs(-0.59518455--0.59825251)×0.000453563270997603×R²
    0.00306795999999998×0.000453563270997603×6371000²
    0.00306795999999998×0.000453563270997603×40589641000000     		ar = 8541157.74406442m²