Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 82896 / 20184
↖ ↑ ↗
← N 77.024626°
E 47.680664°		 ← 68.56 m → N 77.024626°
E 47.683410°		 →
↑
68.55 m
↓
↑
68.55 m
↓
N 77.024010°
E 47.680664°		 ← 68.57 m →
4 700 m²		 N 77.024010°
E 47.683410°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 82896 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20184 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.632450103759766 y=0.153995513916016 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.632450103759766 × 217)
    floor (0.632450103759766 × 131072)
    floor (82896.5)     		tx = 82896
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.153995513916016 × 217)
    floor (0.153995513916016 × 131072)
    floor (20184.5)     		ty = 20184
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 82896 / 20184 ti = "17/82896/20184"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/82896/20184.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 82896 ÷ 217
    82896 ÷ 131072     		x = 0.6324462890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20184 ÷ 217
    20184 ÷ 131072     		y = 0.15399169921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.6324462890625 × 2 - 1) × π
    0.264892578125 × 3.1415926535     		Λ = 0.83218458
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.15399169921875 × 2 - 1) × π
    0.6920166015625 × 3.1415926535     		Φ = 2.17403427156879
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.83218458} λ = 0.83218458}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.17403427156879))-π/2
    2×atan(8.79368870503445)-π/2
    2×1.45756482803426-π/2
    2.91512965606852-1.57079632675     		φ = 1.34433333
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.83218458} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 47.680664°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.34433333 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.024626°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 82896 KachelY 20184 0.83218458 1.34433333 47.680664 77.024626
    Oben rechts KachelX + 1 82897 KachelY 20184 0.83223251 1.34433333 47.683410 77.024626
    Unten links KachelX 82896 KachelY + 1 20185 0.83218458 1.34432257 47.680664 77.024010
    Unten rechts KachelX + 1 82897 KachelY + 1 20185 0.83223251 1.34432257 47.683410 77.024010
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.34433333-1.34432257) × R
    1.07599999998875e-05 × 6371000     		dl = 68.5519599992834m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.34433333-1.34432257) × R
    1.07599999998875e-05 × 6371000     		dr = 68.5519599992834m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.83218458-0.83223251) × cos(1.34433333) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.224532243513454 × 6371000     		do = 68.5636216797647m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.83218458-0.83223251) × cos(1.34432257) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.224542728761719 × 6371000     		du = 68.5668234764598m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.34433333)-sin(1.34432257))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.224532243513454-0.224542728761719)×R²
    abs(0.83223251-0.83218458)×1.04852482643303e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.04852482643303e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.04852482643303e-05×40589641000000     		ar = 4700.28039553847m²