Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 82883 / 20171
↖ ↑ ↗
← N 77.032641°
E 47.644959°		 ← 68.52 m → N 77.032641°
E 47.647705°		 →
↑
68.55 m
↓
↑
68.55 m
↓
N 77.032024°
E 47.644959°		 ← 68.53 m →
4 697 m²		 N 77.032024°
E 47.647705°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 82883 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20171 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.632350921630859 y=0.153896331787109 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.632350921630859 × 217)
    floor (0.632350921630859 × 131072)
    floor (82883.5)     		tx = 82883
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.153896331787109 × 217)
    floor (0.153896331787109 × 131072)
    floor (20171.5)     		ty = 20171
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 82883 / 20171 ti = "17/82883/20171"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/82883/20171.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 82883 ÷ 217
    82883 ÷ 131072     		x = 0.632347106933594
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20171 ÷ 217
    20171 ÷ 131072     		y = 0.153892517089844
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.632347106933594 × 2 - 1) × π
    0.264694213867188 × 3.1415926535     		Λ = 0.83156140
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.153892517089844 × 2 - 1) × π
    0.692214965820312 × 3.1415926535     		Φ = 2.17465745126385
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.83156140} λ = 0.83156140}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.17465745126385))-π/2
    2×atan(8.79917046116226)-π/2
    2×1.45763476876325-π/2
    2.91526953752649-1.57079632675     		φ = 1.34447321
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.83156140} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 47.644959°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.34447321 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.032641°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 82883 KachelY 20171 0.83156140 1.34447321 47.644959 77.032641
    Oben rechts KachelX + 1 82884 KachelY 20171 0.83160933 1.34447321 47.647705 77.032641
    Unten links KachelX 82883 KachelY + 1 20172 0.83156140 1.34446245 47.644959 77.032024
    Unten rechts KachelX + 1 82884 KachelY + 1 20172 0.83160933 1.34446245 47.647705 77.032024
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.34447321-1.34446245) × R
    1.07600000001096e-05 × 6371000     		dl = 68.5519600006981m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.34447321-1.34446245) × R
    1.07600000001096e-05 × 6371000     		dr = 68.5519600006981m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.83156140-0.83160933) × cos(1.34447321) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.22439593292084 × 6371000     		do = 68.5219976004936m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.83156140-0.83160933) × cos(1.34446245) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.224406418506956 × 6371000     		du = 68.5251995003555m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.34447321)-sin(1.34446245))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.22439593292084-0.224406418506956)×R²
    abs(0.83160933-0.83156140)×1.04855861153275e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.04855861153275e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.04855861153275e-05×40589641000000     		ar = 4697.42698698224m²