Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 8287 / 5536
↖ ↑ ↗
← N 75.758940°
W 88.956299°		 ← 300.51 m → N 75.758940°
W 88.945313°		 →
↑
300.52 m
↓
↑
300.52 m
↓
N 75.756237°
W 88.956299°		 ← 300.57 m →
90 318 m²		 N 75.756237°
W 88.945313°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8287 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5536 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.252914428710938 y=0.168960571289062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.252914428710938 × 215)
    floor (0.252914428710938 × 32768)
    floor (8287.5)     		tx = 8287
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.168960571289062 × 215)
    floor (0.168960571289062 × 32768)
    floor (5536.5)     		ty = 5536
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 8287 / 5536 ti = "15/8287/5536"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/8287/5536.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8287 ÷ 215
    8287 ÷ 32768     		x = 0.252899169921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5536 ÷ 215
    5536 ÷ 32768     		y = 0.1689453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.252899169921875 × 2 - 1) × π
    -0.49420166015625 × 3.1415926535     		Λ = -1.55258030
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1689453125 × 2 - 1) × π
    0.662109375 × 3.1415926535     		Φ = 2.08007794831348
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.55258030} λ = -1.55258030}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.08007794831348))-π/2
    2×atan(8.00509287346647)-π/2
    2×1.44651963506606-π/2
    2.89303927013213-1.57079632675     		φ = 1.32224294
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.55258030} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -88.956299°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.32224294 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 75.758940°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8287 KachelY 5536 -1.55258030 1.32224294 -88.956299 75.758940
    Oben rechts KachelX + 1 8288 KachelY 5536 -1.55238856 1.32224294 -88.945313 75.758940
    Unten links KachelX 8287 KachelY + 1 5537 -1.55258030 1.32219577 -88.956299 75.756237
    Unten rechts KachelX + 1 8288 KachelY + 1 5537 -1.55238856 1.32219577 -88.945313 75.756237
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.32224294-1.32219577) × R
    4.71699999999853e-05 × 6371000     		dl = 300.520069999906m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.32224294-1.32219577) × R
    4.71699999999853e-05 × 6371000     		dr = 300.520069999906m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.55258030--1.55238856) × cos(1.32224294) × R
    0.000191739999999996 × 0.246002059369733 × 6371000     		do = 300.510098515687m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.55258030--1.55238856) × cos(1.32219577) × R
    0.000191739999999996 × 0.246047779529183 × 6371000     		du = 300.565949144156m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.32224294)-sin(1.32219577))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.246002059369733-0.246047779529183)×R²
    abs(-1.55238856--1.55258030)×4.57201594499801e-05×R²
    0.000191739999999996×4.57201594499801e-05×6371000²
    0.000191739999999996×4.57201594499801e-05×40589641000000     		ar = 90317.7079751061m²