Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 82865 / 20181
↖ ↑ ↗
← N 77.026476°
E 47.595520°		 ← 68.57 m → N 77.026476°
E 47.598267°		 →
↑
68.55 m
↓
↑
68.55 m
↓
N 77.025860°
E 47.595520°		 ← 68.57 m →
4 701 m²		 N 77.025860°
E 47.598267°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 82865 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20181 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.632213592529297 y=0.153972625732422 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.632213592529297 × 217)
    floor (0.632213592529297 × 131072)
    floor (82865.5)     		tx = 82865
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.153972625732422 × 217)
    floor (0.153972625732422 × 131072)
    floor (20181.5)     		ty = 20181
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 82865 / 20181 ti = "17/82865/20181"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/82865/20181.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 82865 ÷ 217
    82865 ÷ 131072     		x = 0.632209777832031
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20181 ÷ 217
    20181 ÷ 131072     		y = 0.153968811035156
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.632209777832031 × 2 - 1) × π
    0.264419555664062 × 3.1415926535     		Λ = 0.83069853
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.153968811035156 × 2 - 1) × π
    0.692062377929688 × 3.1415926535     		Φ = 2.17417808226765
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.83069853} λ = 0.83069853}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.17417808226765))-π/2
    2×atan(8.79495342249045)-π/2
    2×1.45758097197251-π/2
    2.91516194394502-1.57079632675     		φ = 1.34436562
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.83069853} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 47.595520°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.34436562 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.026476°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 82865 KachelY 20181 0.83069853 1.34436562 47.595520 77.026476
    Oben rechts KachelX + 1 82866 KachelY 20181 0.83074647 1.34436562 47.598267 77.026476
    Unten links KachelX 82865 KachelY + 1 20182 0.83069853 1.34435486 47.595520 77.025860
    Unten rechts KachelX + 1 82866 KachelY + 1 20182 0.83074647 1.34435486 47.598267 77.025860
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.34436562-1.34435486) × R
    1.07600000001096e-05 × 6371000     		dl = 68.5519600006981m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.34436562-1.34435486) × R
    1.07600000001096e-05 × 6371000     		dr = 68.5519600006981m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.83069853-0.83074647) × cos(1.34436562) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.224500777867952 × 6371000     		do = 68.5683162108499m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.83069853-0.83074647) × cos(1.34435486) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.224511263194225 × 6371000     		du = 68.5715186993858m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.34436562)-sin(1.34435486))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.224500777867952-0.224511263194225)×R²
    abs(0.83074647-0.83069853)×1.04853262724858e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.04853262724858e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.04853262724858e-05×40589641000000     		ar = 4700.60223872862m²