Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 82865 / 15985
↖ ↑ ↗
← N 79.375299°
E 47.595520°		 ← 56.31 m → N 79.375299°
E 47.598267°		 →
↑
56.32 m
↓
↑
56.32 m
↓
N 79.374793°
E 47.595520°		 ← 56.32 m →
3 172 m²		 N 79.374793°
E 47.598267°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 82865 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 15985 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.632213592529297 y=0.121959686279297 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.632213592529297 × 217)
    floor (0.632213592529297 × 131072)
    floor (82865.5)     		tx = 82865
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.121959686279297 × 217)
    floor (0.121959686279297 × 131072)
    floor (15985.5)     		ty = 15985
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 82865 / 15985 ti = "17/82865/15985"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/82865/15985.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 82865 ÷ 217
    82865 ÷ 131072     		x = 0.632209777832031
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 15985 ÷ 217
    15985 ÷ 131072     		y = 0.121955871582031
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.632209777832031 × 2 - 1) × π
    0.264419555664062 × 3.1415926535     		Λ = 0.83069853
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.121955871582031 × 2 - 1) × π
    0.756088256835938 × 3.1415926535     		Φ = 2.3753213130734
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.83069853} λ = 0.83069853}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.3753213130734))-π/2
    2×atan(10.7544681822033)-π/2
    2×1.47807832374748-π/2
    2.95615664749495-1.57079632675     		φ = 1.38536032
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.83069853} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 47.595520°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38536032 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.375299°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 82865 KachelY 15985 0.83069853 1.38536032 47.595520 79.375299
    Oben rechts KachelX + 1 82866 KachelY 15985 0.83074647 1.38536032 47.598267 79.375299
    Unten links KachelX 82865 KachelY + 1 15986 0.83069853 1.38535148 47.595520 79.374793
    Unten rechts KachelX + 1 82866 KachelY + 1 15986 0.83074647 1.38535148 47.598267 79.374793
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38536032-1.38535148) × R
    8.84000000000995e-06 × 6371000     		dl = 56.3196400000634m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38536032-1.38535148) × R
    8.84000000000995e-06 × 6371000     		dr = 56.3196400000634m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.83069853-0.83074647) × cos(1.38536032) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.184375082914393 × 6371000     		do = 56.3128961366529m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.83069853-0.83074647) × cos(1.38535148) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.184383771353833 × 6371000     		du = 56.3155498096984m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38536032)-sin(1.38535148))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.184375082914393-0.184383771353833)×R²
    abs(0.83074647-0.83069853)×8.68843944037967e-06×R²
    4.79399999999686e-05×8.68843944037967e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×8.68843944037967e-06×40589641000000     		ar = 3171.59676475921m²