Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 82864 / 15983
↖ ↑ ↗
← N 79.376312°
E 47.592774°		 ← 56.30 m → N 79.376312°
E 47.595520°		 →
↑
56.32 m
↓
↑
56.32 m
↓
N 79.375806°
E 47.592774°		 ← 56.30 m →
3 171 m²		 N 79.375806°
E 47.595520°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 82864 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 15983 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.632205963134766 y=0.121944427490234 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.632205963134766 × 217)
    floor (0.632205963134766 × 131072)
    floor (82864.5)     		tx = 82864
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.121944427490234 × 217)
    floor (0.121944427490234 × 131072)
    floor (15983.5)     		ty = 15983
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 82864 / 15983 ti = "17/82864/15983"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/82864/15983.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 82864 ÷ 217
    82864 ÷ 131072     		x = 0.6322021484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 15983 ÷ 217
    15983 ÷ 131072     		y = 0.121940612792969
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.6322021484375 × 2 - 1) × π
    0.264404296875 × 3.1415926535     		Λ = 0.83065060
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.121940612792969 × 2 - 1) × π
    0.756118774414062 × 3.1415926535     		Φ = 2.37541718687264
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.83065060} λ = 0.83065060}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.37541718687264))-π/2
    2×atan(10.7554993033547)-π/2
    2×1.47808716170088-π/2
    2.95617432340175-1.57079632675     		φ = 1.38537800
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.83065060} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 47.592774°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38537800 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.376312°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 82864 KachelY 15983 0.83065060 1.38537800 47.592774 79.376312
    Oben rechts KachelX + 1 82865 KachelY 15983 0.83069853 1.38537800 47.595520 79.376312
    Unten links KachelX 82864 KachelY + 1 15984 0.83065060 1.38536916 47.592774 79.375806
    Unten rechts KachelX + 1 82865 KachelY + 1 15984 0.83069853 1.38536916 47.595520 79.375806
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38537800-1.38536916) × R
    8.84000000000995e-06 × 6371000     		dl = 56.3196400000634m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38537800-1.38536916) × R
    8.84000000000995e-06 × 6371000     		dr = 56.3196400000634m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.83065060-0.83069853) × cos(1.38537800) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.184357705992288 × 6371000     		do = 56.2958433479828m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.83065060-0.83069853) × cos(1.38536916) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.184366394460544 × 6371000     		du = 56.298496476287m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38537800)-sin(1.38536916))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.184357705992288-0.184366394460544)×R²
    abs(0.83069853-0.83065060)×8.68846825591296e-06×R²
    4.79300000000293e-05×8.68846825591296e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×8.68846825591296e-06×40589641000000     		ar = 3170.63634242863m²