Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 8284 / 25004
↖ ↑ ↗
← N 39.181175°
W134.494629°		 ← 473.45 m → N 39.181175°
W134.489136°		 →
↑
473.49 m
↓
↑
473.49 m
↓
N 39.176917°
W134.494629°		 ← 473.48 m →
224 184 m²		 N 39.176917°
W134.489136°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8284 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 25004 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.126411437988281 y=0.381538391113281 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.126411437988281 × 216)
    floor (0.126411437988281 × 65536)
    floor (8284.5)     		tx = 8284
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.381538391113281 × 216)
    floor (0.381538391113281 × 65536)
    floor (25004.5)     		ty = 25004
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 8284 / 25004 ti = "16/8284/25004"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/8284/25004.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8284 ÷ 216
    8284 ÷ 65536     		x = 0.12640380859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 25004 ÷ 216
    25004 ÷ 65536     		y = 0.38153076171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.12640380859375 × 2 - 1) × π
    -0.7471923828125 × 3.1415926535     		Λ = -2.34737410
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.38153076171875 × 2 - 1) × π
    0.2369384765625 × 3.1415926535     		Φ = 0.744364177300232
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.34737410} λ = -2.34737410}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.744364177300232))-π/2
    2×atan(2.10510253739648)-π/2
    2×1.12731841994703-π/2
    2.25463683989406-1.57079632675     		φ = 0.68384051
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.34737410} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -134.494629°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.68384051 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 39.181175°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8284 KachelY 25004 -2.34737410 0.68384051 -134.494629 39.181175
    Oben rechts KachelX + 1 8285 KachelY 25004 -2.34727823 0.68384051 -134.489136 39.181175
    Unten links KachelX 8284 KachelY + 1 25005 -2.34737410 0.68376619 -134.494629 39.176917
    Unten rechts KachelX + 1 8285 KachelY + 1 25005 -2.34727823 0.68376619 -134.489136 39.176917
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.68384051-0.68376619) × R
    7.43199999999611e-05 × 6371000     		dl = 473.492719999752m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.68384051-0.68376619) × R
    7.43199999999611e-05 × 6371000     		dr = 473.492719999752m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.34737410--2.34727823) × cos(0.68384051) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.775152104386658 × 6371000     		do = 473.453425249124m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.34737410--2.34727823) × cos(0.68376619) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.775199055738235 × 6371000     		du = 473.482102560452m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.68384051)-sin(0.68376619))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.775152104386658-0.775199055738235)×R²
    abs(-2.34727823--2.34737410)×4.69513515760633e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.69513515760633e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.69513515760633e-05×40589641000000     		ar = 224183.539466586m²