Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 82831 / 20177
↖ ↑ ↗
← N 77.028942°
E 47.502136°		 ← 68.56 m → N 77.028942°
E 47.504883°		 →
↑
68.55 m
↓
↑
68.55 m
↓
N 77.028326°
E 47.502136°		 ← 68.56 m →
4 700 m²		 N 77.028326°
E 47.504883°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 82831 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20177 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.631954193115234 y=0.153942108154297 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.631954193115234 × 217)
    floor (0.631954193115234 × 131072)
    floor (82831.5)     		tx = 82831
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.153942108154297 × 217)
    floor (0.153942108154297 × 131072)
    floor (20177.5)     		ty = 20177
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 82831 / 20177 ti = "17/82831/20177"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/82831/20177.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 82831 ÷ 217
    82831 ÷ 131072     		x = 0.631950378417969
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20177 ÷ 217
    20177 ÷ 131072     		y = 0.153938293457031
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.631950378417969 × 2 - 1) × π
    0.263900756835938 × 3.1415926535     		Λ = 0.82906868
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.153938293457031 × 2 - 1) × π
    0.692123413085938 × 3.1415926535     		Φ = 2.17436982986613
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.82906868} λ = 0.82906868}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.17436982986613))-π/2
    2×atan(8.79663999538094)-π/2
    2×1.45760249370452-π/2
    2.91520498740903-1.57079632675     		φ = 1.34440866
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.82906868} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 47.502136°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.34440866 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.028942°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 82831 KachelY 20177 0.82906868 1.34440866 47.502136 77.028942
    Oben rechts KachelX + 1 82832 KachelY 20177 0.82911662 1.34440866 47.504883 77.028942
    Unten links KachelX 82831 KachelY + 1 20178 0.82906868 1.34439790 47.502136 77.028326
    Unten rechts KachelX + 1 82832 KachelY + 1 20178 0.82911662 1.34439790 47.504883 77.028326
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.34440866-1.34439790) × R
    1.07600000001096e-05 × 6371000     		dl = 68.5519600006981m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.34440866-1.34439790) × R
    1.07600000001096e-05 × 6371000     		dr = 68.5519600006981m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.82906868-0.82911662) × cos(1.34440866) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.224458836302953 × 6371000     		do = 68.5555061773234m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.82906868-0.82911662) × cos(1.34439790) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.224469321733187 × 6371000     		du = 68.5587086976117m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.34440866)-sin(1.34439790))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.224458836302953-0.224469321733187)×R²
    abs(0.82911662-0.82906868)×1.04854302338531e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.04854302338531e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.04854302338531e-05×40589641000000     		ar = 4699.72408671171m²