Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 8283 / 8410
↖ ↑ ↗
← N 78.944031°
W134.500122°		 ← 117.13 m → N 78.944031°
W134.494629°		 →
↑
117.16 m
↓
↑
117.16 m
↓
N 78.942977°
W134.500122°		 ← 117.14 m →
13 724 m²		 N 78.942977°
W134.494629°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8283 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8410 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.126396179199219 y=0.128334045410156 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.126396179199219 × 216)
    floor (0.126396179199219 × 65536)
    floor (8283.5)     		tx = 8283
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.128334045410156 × 216)
    floor (0.128334045410156 × 65536)
    floor (8410.5)     		ty = 8410
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 8283 / 8410 ti = "16/8283/8410"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/8283/8410.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8283 ÷ 216
    8283 ÷ 65536     		x = 0.126388549804688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8410 ÷ 216
    8410 ÷ 65536     		y = 0.128326416015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.126388549804688 × 2 - 1) × π
    -0.747222900390625 × 3.1415926535     		Λ = -2.34746997
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.128326416015625 × 2 - 1) × π
    0.74334716796875 × 3.1415926535     		Φ = 2.33529400189066
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.34746997} λ = -2.34746997}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.33529400189066))-π/2
    2×atan(10.3324972565863)-π/2
    2×1.47431479357731-π/2
    2.94862958715462-1.57079632675     		φ = 1.37783326
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.34746997} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -134.500122°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.37783326 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.944031°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8283 KachelY 8410 -2.34746997 1.37783326 -134.500122 78.944031
    Oben rechts KachelX + 1 8284 KachelY 8410 -2.34737410 1.37783326 -134.494629 78.944031
    Unten links KachelX 8283 KachelY + 1 8411 -2.34746997 1.37781487 -134.500122 78.942977
    Unten rechts KachelX + 1 8284 KachelY + 1 8411 -2.34737410 1.37781487 -134.494629 78.942977
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.37783326-1.37781487) × R
    1.83900000001458e-05 × 6371000     		dl = 117.162690000929m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.37783326-1.37781487) × R
    1.83900000001458e-05 × 6371000     		dr = 117.162690000929m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.34746997--2.34737410) × cos(1.37783326) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.191767805792479 × 6371000     		do = 117.129430457779m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.34746997--2.34737410) × cos(1.37781487) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.191785854447601 × 6371000     		du = 117.140454355592m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.37783326)-sin(1.37781487))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.191767805792479-0.191785854447601)×R²
    abs(-2.34737410--2.34746997)×1.80486551217551e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.80486551217551e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.80486551217551e-05×40589641000000     		ar = 13723.8449460843m²