Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 82827 / 95113
↖ ↑ ↗
← S 62.766040°
E 47.491150°		 ← 139.77 m → S 62.766040°
E 47.493897°		 →
↑
139.78 m
↓
↑
139.78 m
↓
S 62.767297°
E 47.491150°		 ← 139.76 m →
19 537 m²		 S 62.767297°
E 47.493897°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 82827 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 95113 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.631923675537109 y=0.725658416748047 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.631923675537109 × 217)
    floor (0.631923675537109 × 131072)
    floor (82827.5)     		tx = 82827
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.725658416748047 × 217)
    floor (0.725658416748047 × 131072)
    floor (95113.5)     		ty = 95113
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 82827 / 95113 ti = "17/82827/95113"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/82827/95113.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 82827 ÷ 217
    82827 ÷ 131072     		x = 0.631919860839844
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 95113 ÷ 217
    95113 ÷ 131072     		y = 0.725654602050781
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.631919860839844 × 2 - 1) × π
    0.263839721679688 × 3.1415926535     		Λ = 0.82887693
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.725654602050781 × 2 - 1) × π
    -0.451309204101562 × 3.1415926535     		Φ = -1.4178296800624
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.82887693} λ = 0.82887693}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.4178296800624))-π/2
    2×atan(0.242239183330555)-π/2
    2×0.237661133103022-π/2
    0.475322266206045-1.57079632675     		φ = -1.09547406
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.82887693} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 47.491150°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.09547406 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -62.766040°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 82827 KachelY 95113 0.82887693 -1.09547406 47.491150 -62.766040
    Oben rechts KachelX + 1 82828 KachelY 95113 0.82892487 -1.09547406 47.493897 -62.766040
    Unten links KachelX 82827 KachelY + 1 95114 0.82887693 -1.09549600 47.491150 -62.767297
    Unten rechts KachelX + 1 82828 KachelY + 1 95114 0.82892487 -1.09549600 47.493897 -62.767297
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.09547406--1.09549600) × R
    2.19400000001091e-05 × 6371000     		dl = 139.779740000695m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.09547406--1.09549600) × R
    2.19400000001091e-05 × 6371000     		dr = 139.779740000695m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.82887693-0.82892487) × cos(-1.09547406) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.457625012940472 × 6371000     		do = 139.770458220085m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.82887693-0.82892487) × cos(-1.09549600) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.457605504982659 × 6371000     		du = 139.764499987634m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.09547406)-sin(-1.09549600))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.457625012940472-0.457605504982659)×R²
    abs(0.82892487-0.82887693)×1.95079578130253e-05×R²
    4.79400000000796e-05×1.95079578130253e-05×6371000²
    4.79400000000796e-05×1.95079578130253e-05×40589641000000     		ar = 19536.6618906042m²