Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 82825 / 17543
↖ ↑ ↗
← N 78.556675°
E 47.485657°		 ← 60.58 m → N 78.556675°
E 47.488403°		 →
↑
60.59 m
↓
↑
60.59 m
↓
N 78.556130°
E 47.485657°		 ← 60.59 m →
3 671 m²		 N 78.556130°
E 47.488403°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 82825 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 17543 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.631908416748047 y=0.133846282958984 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.631908416748047 × 217)
    floor (0.631908416748047 × 131072)
    floor (82825.5)     		tx = 82825
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.133846282958984 × 217)
    floor (0.133846282958984 × 131072)
    floor (17543.5)     		ty = 17543
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 82825 / 17543 ti = "17/82825/17543"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/82825/17543.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 82825 ÷ 217
    82825 ÷ 131072     		x = 0.631904602050781
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 17543 ÷ 217
    17543 ÷ 131072     		y = 0.133842468261719
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.631904602050781 × 2 - 1) × π
    0.263809204101562 × 3.1415926535     		Λ = 0.82878106
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.133842468261719 × 2 - 1) × π
    0.732315063476562 × 3.1415926535     		Φ = 2.30063562346536
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.82878106} λ = 0.82878106}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.30063562346536))-π/2
    2×atan(9.98052429452828)-π/2
    2×1.47093447299138-π/2
    2.94186894598276-1.57079632675     		φ = 1.37107262
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.82878106} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 47.485657°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.37107262 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.556675°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 82825 KachelY 17543 0.82878106 1.37107262 47.485657 78.556675
    Oben rechts KachelX + 1 82826 KachelY 17543 0.82882899 1.37107262 47.488403 78.556675
    Unten links KachelX 82825 KachelY + 1 17544 0.82878106 1.37106311 47.485657 78.556130
    Unten rechts KachelX + 1 82826 KachelY + 1 17544 0.82882899 1.37106311 47.488403 78.556130
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.37107262-1.37106311) × R
    9.51000000015689e-06 × 6371000     		dl = 60.5882100009996m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.37107262-1.37106311) × R
    9.51000000015689e-06 × 6371000     		dr = 60.5882100009996m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.82878106-0.82882899) × cos(1.37107262) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.198398537479497 × 6371000     		do = 60.5833801538073m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.82878106-0.82882899) × cos(1.37106311) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.198407858425338 × 6371000     		du = 60.5862264167509m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.37107262)-sin(1.37106311))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.198398537479497-0.198407858425338)×R²
    abs(0.82882899-0.82878106)×9.32094584121801e-06×R²
    4.79300000000293e-05×9.32094584121801e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×9.32094584121801e-06×40589641000000     		ar = 3670.72478439711m²