Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 82824 / 20104
↖ ↑ ↗
← N 77.073870°
E 47.482910°		 ← 68.32 m → N 77.073870°
E 47.485657°		 →
↑
68.30 m
↓
↑
68.30 m
↓
N 77.073255°
E 47.482910°		 ← 68.33 m →
4 666 m²		 N 77.073255°
E 47.485657°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 82824 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20104 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.631900787353516 y=0.153385162353516 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.631900787353516 × 217)
    floor (0.631900787353516 × 131072)
    floor (82824.5)     		tx = 82824
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.153385162353516 × 217)
    floor (0.153385162353516 × 131072)
    floor (20104.5)     		ty = 20104
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 82824 / 20104 ti = "17/82824/20104"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/82824/20104.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 82824 ÷ 217
    82824 ÷ 131072     		x = 0.63189697265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20104 ÷ 217
    20104 ÷ 131072     		y = 0.15338134765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.63189697265625 × 2 - 1) × π
    0.2637939453125 × 3.1415926535     		Λ = 0.82873312
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.15338134765625 × 2 - 1) × π
    0.6932373046875 × 3.1415926535     		Φ = 2.17786922353839
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.82873312} λ = 0.82873312}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.17786922353839))-π/2
    2×atan(8.82747682535345)-π/2
    2×1.45799455970651-π/2
    2.91598911941302-1.57079632675     		φ = 1.34519279
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.82873312} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 47.482910°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.34519279 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.073870°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 82824 KachelY 20104 0.82873312 1.34519279 47.482910 77.073870
    Oben rechts KachelX + 1 82825 KachelY 20104 0.82878106 1.34519279 47.485657 77.073870
    Unten links KachelX 82824 KachelY + 1 20105 0.82873312 1.34518207 47.482910 77.073255
    Unten rechts KachelX + 1 82825 KachelY + 1 20105 0.82878106 1.34518207 47.485657 77.073255
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.34519279-1.34518207) × R
    1.07200000001306e-05 × 6371000     		dl = 68.2971200008322m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.34519279-1.34518207) × R
    1.07200000001306e-05 × 6371000     		dr = 68.2971200008322m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.82873312-0.82878106) × cos(1.34519279) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.223694645573105 × 6371000     		do = 68.3221026581585m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.82873312-0.82878106) × cos(1.34518207) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.223705093907697 × 6371000     		du = 68.3252938484831m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.34519279)-sin(1.34518207))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.223694645573105-0.223705093907697)×R²
    abs(0.82878106-0.82873312)×1.04483345922113e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.04483345922113e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.04483345922113e-05×40589641000000     		ar = 4666.31181842445m²