Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 82823 / 95117
↖ ↑ ↗
← S 62.771067°
E 47.480163°		 ← 139.75 m → S 62.771067°
E 47.482910°		 →
↑
139.72 m
↓
↑
139.72 m
↓
S 62.772324°
E 47.480163°		 ← 139.74 m →
19 524 m²		 S 62.772324°
E 47.482910°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 82823 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 95117 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.631893157958984 y=0.725688934326172 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.631893157958984 × 217)
    floor (0.631893157958984 × 131072)
    floor (82823.5)     		tx = 82823
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.725688934326172 × 217)
    floor (0.725688934326172 × 131072)
    floor (95117.5)     		ty = 95117
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 82823 / 95117 ti = "17/82823/95117"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/82823/95117.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 82823 ÷ 217
    82823 ÷ 131072     		x = 0.631889343261719
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 95117 ÷ 217
    95117 ÷ 131072     		y = 0.725685119628906
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.631889343261719 × 2 - 1) × π
    0.263778686523438 × 3.1415926535     		Λ = 0.82868518
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.725685119628906 × 2 - 1) × π
    -0.451370239257812 × 3.1415926535     		Φ = -1.41802142766088
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.82868518} λ = 0.82868518}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.41802142766088))-π/2
    2×atan(0.242192739001831)-π/2
    2×0.237617262594391-π/2
    0.475234525188782-1.57079632675     		φ = -1.09556180
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.82868518} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 47.480163°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.09556180 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -62.771067°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 82823 KachelY 95117 0.82868518 -1.09556180 47.480163 -62.771067
    Oben rechts KachelX + 1 82824 KachelY 95117 0.82873312 -1.09556180 47.482910 -62.771067
    Unten links KachelX 82823 KachelY + 1 95118 0.82868518 -1.09558373 47.480163 -62.772324
    Unten rechts KachelX + 1 82824 KachelY + 1 95118 0.82873312 -1.09558373 47.482910 -62.772324
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.09556180--1.09558373) × R
    2.19299999999478e-05 × 6371000     		dl = 139.716029999668m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.09556180--1.09558373) × R
    2.19299999999478e-05 × 6371000     		dr = 139.716029999668m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.82868518-0.82873312) × cos(-1.09556180) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.457546997571319 × 6371000     		do = 139.746630317907m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.82868518-0.82873312) × cos(-1.09558373) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.45752749762462 × 6371000     		du = 139.740674532256m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.09556180)-sin(-1.09558373))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.457546997571319-0.45752749762462)×R²
    abs(0.82873312-0.82868518)×1.94999466995305e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.94999466995305e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.94999466995305e-05×40589641000000     		ar = 19524.4283352054m²