Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 82820 / 95104
↖ ↑ ↗
← S 62.754726°
E 47.471924°		 ← 139.82 m → S 62.754726°
E 47.474670°		 →
↑
139.78 m
↓
↑
139.78 m
↓
S 62.755983°
E 47.471924°		 ← 139.82 m →
19 544 m²		 S 62.755983°
E 47.474670°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 82820 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 95104 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.631870269775391 y=0.725589752197266 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.631870269775391 × 217)
    floor (0.631870269775391 × 131072)
    floor (82820.5)     		tx = 82820
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.725589752197266 × 217)
    floor (0.725589752197266 × 131072)
    floor (95104.5)     		ty = 95104
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 82820 / 95104 ti = "17/82820/95104"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/82820/95104.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 82820 ÷ 217
    82820 ÷ 131072     		x = 0.631866455078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 95104 ÷ 217
    95104 ÷ 131072     		y = 0.7255859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.631866455078125 × 2 - 1) × π
    0.26373291015625 × 3.1415926535     		Λ = 0.82854137
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7255859375 × 2 - 1) × π
    -0.451171875 × 3.1415926535     		Φ = -1.41739824796582
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.82854137} λ = 0.82854137}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.41739824796582))-π/2
    2×atan(0.242343715636968)-π/2
    2×0.237759869098299-π/2
    0.475519738196597-1.57079632675     		φ = -1.09527659
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.82854137} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 47.471924°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.09527659 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -62.754726°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 82820 KachelY 95104 0.82854137 -1.09527659 47.471924 -62.754726
    Oben rechts KachelX + 1 82821 KachelY 95104 0.82858931 -1.09527659 47.474670 -62.754726
    Unten links KachelX 82820 KachelY + 1 95105 0.82854137 -1.09529853 47.471924 -62.755983
    Unten rechts KachelX + 1 82821 KachelY + 1 95105 0.82858931 -1.09529853 47.474670 -62.755983
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.09527659--1.09529853) × R
    2.1939999999887e-05 × 6371000     		dl = 139.77973999928m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.09527659--1.09529853) × R
    2.1939999999887e-05 × 6371000     		dr = 139.77973999928m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.82854137-0.82858931) × cos(-1.09527659) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.45780058353743 × 6371000     		do = 139.82408199926m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.82854137-0.82858931) × cos(-1.09529853) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.457781077562612 × 6371000     		du = 139.818124372466m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.09527659)-sin(-1.09529853))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.45780058353743-0.457781077562612)×R²
    abs(0.82858931-0.82854137)×1.95059748181459e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.95059748181459e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.95059748181459e-05×40589641000000     		ar = 19544.1574504817m²