Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 82818 / 16286
↖ ↑ ↗
← N 79.221787°
E 47.466431°		 ← 57.12 m → N 79.221787°
E 47.469177°		 →
↑
57.08 m
↓
↑
57.08 m
↓
N 79.221273°
E 47.466431°		 ← 57.12 m →
3 261 m²		 N 79.221273°
E 47.469177°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 82818 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 16286 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.631855010986328 y=0.124256134033203 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.631855010986328 × 217)
    floor (0.631855010986328 × 131072)
    floor (82818.5)     		tx = 82818
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.124256134033203 × 217)
    floor (0.124256134033203 × 131072)
    floor (16286.5)     		ty = 16286
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 82818 / 16286 ti = "17/82818/16286"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/82818/16286.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 82818 ÷ 217
    82818 ÷ 131072     		x = 0.631851196289062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 16286 ÷ 217
    16286 ÷ 131072     		y = 0.124252319335938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.631851196289062 × 2 - 1) × π
    0.263702392578125 × 3.1415926535     		Λ = 0.82844550
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.124252319335938 × 2 - 1) × π
    0.751495361328125 × 3.1415926535     		Φ = 2.36089230628777
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.82844550} λ = 0.82844550}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.36089230628777))-π/2
    2×atan(10.600406042576)-π/2
    2×1.47673867391673-π/2
    2.95347734783347-1.57079632675     		φ = 1.38268102
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.82844550} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 47.466431°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38268102 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.221787°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 82818 KachelY 16286 0.82844550 1.38268102 47.466431 79.221787
    Oben rechts KachelX + 1 82819 KachelY 16286 0.82849344 1.38268102 47.469177 79.221787
    Unten links KachelX 82818 KachelY + 1 16287 0.82844550 1.38267206 47.466431 79.221273
    Unten rechts KachelX + 1 82819 KachelY + 1 16287 0.82849344 1.38267206 47.469177 79.221273
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38268102-1.38267206) × R
    8.95999999994679e-06 × 6371000     		dl = 57.084159999661m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38268102-1.38267206) × R
    8.95999999994679e-06 × 6371000     		dr = 57.084159999661m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.82844550-0.82849344) × cos(1.38268102) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.187007783943109 × 6371000     		do = 57.1169907966789m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.82844550-0.82849344) × cos(1.38267206) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.187016585867152 × 6371000     		du = 57.1196791308432m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38268102)-sin(1.38267206))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.187007783943109-0.187016585867152)×R²
    abs(0.82849344-0.82844550)×8.80192404309477e-06×R²
    4.79400000000796e-05×8.80192404309477e-06×6371000²
    4.79400000000796e-05×8.80192404309477e-06×40589641000000     		ar = 3260.5521719953m²