Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 82812 / 17548
↖ ↑ ↗
← N 78.553950°
E 47.449951°		 ← 60.60 m → N 78.553950°
E 47.452697°		 →
↑
60.59 m
↓
↑
60.59 m
↓
N 78.553405°
E 47.449951°		 ← 60.60 m →
3 672 m²		 N 78.553405°
E 47.452697°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 82812 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 17548 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.631809234619141 y=0.133884429931641 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.631809234619141 × 217)
    floor (0.631809234619141 × 131072)
    floor (82812.5)     		tx = 82812
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.133884429931641 × 217)
    floor (0.133884429931641 × 131072)
    floor (17548.5)     		ty = 17548
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 82812 / 17548 ti = "17/82812/17548"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/82812/17548.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 82812 ÷ 217
    82812 ÷ 131072     		x = 0.631805419921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 17548 ÷ 217
    17548 ÷ 131072     		y = 0.133880615234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.631805419921875 × 2 - 1) × π
    0.26361083984375 × 3.1415926535     		Λ = 0.82815788
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.133880615234375 × 2 - 1) × π
    0.73223876953125 × 3.1415926535     		Φ = 2.30039593896725
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.82815788} λ = 0.82815788}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.30039593896725))-π/2
    2×atan(9.97813240423293)-π/2
    2×1.47091069367134-π/2
    2.94182138734269-1.57079632675     		φ = 1.37102506
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.82815788} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 47.449951°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.37102506 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.553950°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 82812 KachelY 17548 0.82815788 1.37102506 47.449951 78.553950
    Oben rechts KachelX + 1 82813 KachelY 17548 0.82820581 1.37102506 47.452697 78.553950
    Unten links KachelX 82812 KachelY + 1 17549 0.82815788 1.37101555 47.449951 78.553405
    Unten rechts KachelX + 1 82813 KachelY + 1 17549 0.82820581 1.37101555 47.452697 78.553405
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.37102506-1.37101555) × R
    9.50999999993485e-06 × 6371000     		dl = 60.5882099995849m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.37102506-1.37101555) × R
    9.50999999993485e-06 × 6371000     		dr = 60.5882099995849m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.82815788-0.82820581) × cos(1.37102506) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.198445151830373 × 6371000     		do = 60.5976144066181m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.82815788-0.82820581) × cos(1.37101555) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.198454472686467 × 6371000     		du = 60.6004606421562m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.37102506)-sin(1.37101555))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.198445151830373-0.198454472686467)×R²
    abs(0.82820581-0.82815788)×9.32085609356426e-06×R²
    4.79300000000293e-05×9.32085609356426e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×9.32085609356426e-06×40589641000000     		ar = 3671.58721127203m²