Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 82811 / 17531
↖ ↑ ↗
← N 78.563211°
E 47.447205°		 ← 60.56 m → N 78.563211°
E 47.449951°		 →
↑
60.52 m
↓
↑
60.52 m
↓
N 78.562667°
E 47.447205°		 ← 60.56 m →
3 666 m²		 N 78.562667°
E 47.449951°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 82811 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 17531 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.631801605224609 y=0.133754730224609 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.631801605224609 × 217)
    floor (0.631801605224609 × 131072)
    floor (82811.5)     		tx = 82811
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.133754730224609 × 217)
    floor (0.133754730224609 × 131072)
    floor (17531.5)     		ty = 17531
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 82811 / 17531 ti = "17/82811/17531"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/82811/17531.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 82811 ÷ 217
    82811 ÷ 131072     		x = 0.631797790527344
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 17531 ÷ 217
    17531 ÷ 131072     		y = 0.133750915527344
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.631797790527344 × 2 - 1) × π
    0.263595581054688 × 3.1415926535     		Λ = 0.82810994
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.133750915527344 × 2 - 1) × π
    0.732498168945312 × 3.1415926535     		Φ = 2.3012108662608
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.82810994} λ = 0.82810994}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.3012108662608))-π/2
    2×atan(9.98626717083918)-π/2
    2×1.47099152057269-π/2
    2.94198304114539-1.57079632675     		φ = 1.37118671
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.82810994} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 47.447205°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.37118671 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.563211°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 82811 KachelY 17531 0.82810994 1.37118671 47.447205 78.563211
    Oben rechts KachelX + 1 82812 KachelY 17531 0.82815788 1.37118671 47.449951 78.563211
    Unten links KachelX 82811 KachelY + 1 17532 0.82810994 1.37117721 47.447205 78.562667
    Unten rechts KachelX + 1 82812 KachelY + 1 17532 0.82815788 1.37117721 47.449951 78.562667
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.37118671-1.37117721) × R
    9.49999999999562e-06 × 6371000     		dl = 60.5244999999721m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.37118671-1.37117721) × R
    9.49999999999562e-06 × 6371000     		dr = 60.5244999999721m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.82810994-0.82815788) × cos(1.37118671) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.198286714134399 × 6371000     		do = 60.5618663966275m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.82810994-0.82815788) × cos(1.37117721) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.198296025494024 × 6371000     		du = 60.5647103255315m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.37118671)-sin(1.37117721))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.198286714134399-0.198296025494024)×R²
    abs(0.82815788-0.82810994)×9.31135962528584e-06×R²
    4.79399999999686e-05×9.31135962528584e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×9.31135962528584e-06×40589641000000     		ar = 3665.56274642846m²