Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 82809 / 17481
↖ ↑ ↗
← N 78.590410°
E 47.441712°		 ← 60.41 m → N 78.590410°
E 47.444458°		 →
↑
60.40 m
↓
↑
60.40 m
↓
N 78.589867°
E 47.441712°		 ← 60.41 m →
3 649 m²		 N 78.589867°
E 47.444458°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 82809 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 17481 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.631786346435547 y=0.133373260498047 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.631786346435547 × 217)
    floor (0.631786346435547 × 131072)
    floor (82809.5)     		tx = 82809
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.133373260498047 × 217)
    floor (0.133373260498047 × 131072)
    floor (17481.5)     		ty = 17481
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 82809 / 17481 ti = "17/82809/17481"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/82809/17481.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 82809 ÷ 217
    82809 ÷ 131072     		x = 0.631782531738281
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 17481 ÷ 217
    17481 ÷ 131072     		y = 0.133369445800781
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.631782531738281 × 2 - 1) × π
    0.263565063476562 × 3.1415926535     		Λ = 0.82801407
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.133369445800781 × 2 - 1) × π
    0.733261108398438 × 3.1415926535     		Φ = 2.3036077112418
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.82801407} λ = 0.82801407}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.3036077112418))-π/2
    2×atan(10.0102314130007)-π/2
    2×1.47122887290689-π/2
    2.94245774581378-1.57079632675     		φ = 1.37166142
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.82801407} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 47.441712°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.37166142 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.590410°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 82809 KachelY 17481 0.82801407 1.37166142 47.441712 78.590410
    Oben rechts KachelX + 1 82810 KachelY 17481 0.82806200 1.37166142 47.444458 78.590410
    Unten links KachelX 82809 KachelY + 1 17482 0.82801407 1.37165194 47.441712 78.589867
    Unten rechts KachelX + 1 82810 KachelY + 1 17482 0.82806200 1.37165194 47.444458 78.589867
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.37166142-1.37165194) × R
    9.47999999989513e-06 × 6371000     		dl = 60.3970799993319m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.37166142-1.37165194) × R
    9.47999999989513e-06 × 6371000     		dr = 60.3970799993319m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.82801407-0.82806200) × cos(1.37166142) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.197821407623082 × 6371000     		do = 60.4071466091387m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.82801407-0.82806200) × cos(1.37165194) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.197830700271177 × 6371000     		du = 60.4099842310252m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.37166142)-sin(1.37165194))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.197821407623082-0.197830700271177)×R²
    abs(0.82806200-0.82801407)×9.29264809548802e-06×R²
    4.79299999999183e-05×9.29264809548802e-06×6371000²
    4.79299999999183e-05×9.29264809548802e-06×40589641000000     		ar = 3648.50095830679m²