Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 82800 / 20201
↖ ↑ ↗
← N 77.014138°
E 47.416992°		 ← 68.62 m → N 77.014138°
E 47.419739°		 →
↑
68.62 m
↓
↑
68.62 m
↓
N 77.013521°
E 47.416992°		 ← 68.62 m →
4 708 m²		 N 77.013521°
E 47.419739°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 82800 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20201 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.631717681884766 y=0.154125213623047 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.631717681884766 × 217)
    floor (0.631717681884766 × 131072)
    floor (82800.5)     		tx = 82800
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.154125213623047 × 217)
    floor (0.154125213623047 × 131072)
    floor (20201.5)     		ty = 20201
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 82800 / 20201 ti = "17/82800/20201"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/82800/20201.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 82800 ÷ 217
    82800 ÷ 131072     		x = 0.6317138671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20201 ÷ 217
    20201 ÷ 131072     		y = 0.154121398925781
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.6317138671875 × 2 - 1) × π
    0.263427734375 × 3.1415926535     		Λ = 0.82758264
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.154121398925781 × 2 - 1) × π
    0.691757202148438 × 3.1415926535     		Φ = 2.17321934427525
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.82758264} λ = 0.82758264}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.17321934427525))-π/2
    2×atan(8.78652540727767)-π/2
    2×1.45747330297161-π/2
    2.91494660594323-1.57079632675     		φ = 1.34415028
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.82758264} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 47.416992°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.34415028 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.014138°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 82800 KachelY 20201 0.82758264 1.34415028 47.416992 77.014138
    Oben rechts KachelX + 1 82801 KachelY 20201 0.82763057 1.34415028 47.419739 77.014138
    Unten links KachelX 82800 KachelY + 1 20202 0.82758264 1.34413951 47.416992 77.013521
    Unten rechts KachelX + 1 82801 KachelY + 1 20202 0.82763057 1.34413951 47.419739 77.013521
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.34415028-1.34413951) × R
    1.07700000000488e-05 × 6371000     		dl = 68.6156700003109m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.34415028-1.34413951) × R
    1.07700000000488e-05 × 6371000     		dr = 68.6156700003109m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.82758264-0.82763057) × cos(1.34415028) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.224710615872852 × 6371000     		do = 68.6180898253675m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.82758264-0.82763057) × cos(1.34413951) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.224721110422919 × 6371000     		du = 68.6212944624799m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.34415028)-sin(1.34413951))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.224710615872852-0.224721110422919)×R²
    abs(0.82763057-0.82758264)×1.04945500669917e-05×R²
    4.79299999999183e-05×1.04945500669917e-05×6371000²
    4.79299999999183e-05×1.04945500669917e-05×40589641000000     		ar = 4708.38615161704m²