Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
11 / 828 / 1597
↖ ↑ ↗
← S 70.436799°
W 34.453125°		 ← 6 544.90 m → S 70.436799°
W 34.277344°		 →
↑
6 535.50 m
↓
↑
6 535.50 m
↓
S 70.495574°
W 34.453125°		 ← 6 526 m →
42 712 442 m²		 S 70.495574°
W 34.277344°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 11 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 828 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1597 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.404541015625 y=0.780029296875 und der Vergrößerungsstufe zoom=11 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.404541015625 × 211)
    floor (0.404541015625 × 2048)
    floor (828.5)     		tx = 828
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.780029296875 × 211)
    floor (0.780029296875 × 2048)
    floor (1597.5)     		ty = 1597
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 11 / 828 / 1597 ti = "11/828/1597"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/11/828/1597.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 828 ÷ 211
    828 ÷ 2048     		x = 0.404296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1597 ÷ 211
    1597 ÷ 2048     		y = 0.77978515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.404296875 × 2 - 1) × π
    -0.19140625 × 3.1415926535     		Λ = -0.60132047
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.77978515625 × 2 - 1) × π
    -0.5595703125 × 3.1415926535     		Φ = -1.7579419828667
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.60132047} λ = -0.60132047}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.7579419828667))-π/2
    2×atan(0.172399299692942)-π/2
    2×0.170721136431617-π/2
    0.341442272863235-1.57079632675     		φ = -1.22935405
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.60132047} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -34.453125°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.22935405 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.436799°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 828 KachelY 1597 -0.60132047 -1.22935405 -34.453125 -70.436799
    Oben rechts KachelX + 1 829 KachelY 1597 -0.59825251 -1.22935405 -34.277344 -70.436799
    Unten links KachelX 828 KachelY + 1 1598 -0.60132047 -1.23037987 -34.453125 -70.495574
    Unten rechts KachelX + 1 829 KachelY + 1 1598 -0.59825251 -1.23037987 -34.277344 -70.495574
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.22935405--1.23037987) × R
    0.00102581999999996 × 6371000     		dl = 6535.49921999971m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.22935405--1.23037987) × R
    0.00102581999999996 × 6371000     		dr = 6535.49921999971m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.60132047--0.59825251) × cos(-1.22935405) × R
    0.00306795999999998 × 0.334846457993195 × 6371000     		do = 6544.89988065602m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.60132047--0.59825251) × cos(-1.23037987) × R
    0.00306795999999998 × 0.333879679796468 × 6371000     		du = 6526.00325997112m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.22935405)-sin(-1.23037987))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.334846457993195-0.333879679796468)×R²
    abs(-0.59825251--0.60132047)×0.000966778196727136×R²
    0.00306795999999998×0.000966778196727136×6371000²
    0.00306795999999998×0.000966778196727136×40589641000000     		ar = 42712442.385685m²