Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 82794 / 19992
↖ ↑ ↗
← N 77.142502°
E 47.400512°		 ← 67.97 m → N 77.142502°
E 47.403259°		 →
↑
67.98 m
↓
↑
67.98 m
↓
N 77.141891°
E 47.400512°		 ← 67.97 m →
4 620 m²		 N 77.141891°
E 47.403259°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 82794 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19992 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.631671905517578 y=0.152530670166016 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.631671905517578 × 217)
    floor (0.631671905517578 × 131072)
    floor (82794.5)     		tx = 82794
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.152530670166016 × 217)
    floor (0.152530670166016 × 131072)
    floor (19992.5)     		ty = 19992
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 82794 / 19992 ti = "17/82794/19992"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/82794/19992.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 82794 ÷ 217
    82794 ÷ 131072     		x = 0.631668090820312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19992 ÷ 217
    19992 ÷ 131072     		y = 0.15252685546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.631668090820312 × 2 - 1) × π
    0.263336181640625 × 3.1415926535     		Λ = 0.82729501
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.15252685546875 × 2 - 1) × π
    0.6949462890625 × 3.1415926535     		Φ = 2.18323815629584
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.82729501} λ = 0.82729501}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.18323815629584))-π/2
    2×atan(8.87499841079257)-π/2
    2×1.45859349187418-π/2
    2.91718698374835-1.57079632675     		φ = 1.34639066
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.82729501} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 47.400512°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.34639066 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.142502°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 82794 KachelY 19992 0.82729501 1.34639066 47.400512 77.142502
    Oben rechts KachelX + 1 82795 KachelY 19992 0.82734295 1.34639066 47.403259 77.142502
    Unten links KachelX 82794 KachelY + 1 19993 0.82729501 1.34637999 47.400512 77.141891
    Unten rechts KachelX + 1 82795 KachelY + 1 19993 0.82734295 1.34637999 47.403259 77.141891
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.34639066-1.34637999) × R
    1.06699999999904e-05 × 6371000     		dl = 67.9785699999389m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.34639066-1.34637999) × R
    1.06699999999904e-05 × 6371000     		dr = 67.9785699999389m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.82729501-0.82734295) × cos(1.34639066) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.222526970255735 × 6371000     		do = 67.9654645602714m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.82729501-0.82734295) × cos(1.34637999) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.22253737270919 × 6371000     		du = 67.9686417373157m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.34639066)-sin(1.34637999))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.222526970255735-0.22253737270919)×R²
    abs(0.82734295-0.82729501)×1.04024534547942e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.04024534547942e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.04024534547942e-05×40589641000000     		ar = 4620.30308028861m²