Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 82792 / 19990
↖ ↑ ↗
← N 77.143725°
E 47.395020°		 ← 67.96 m → N 77.143725°
E 47.397766°		 →
↑
67.98 m
↓
↑
67.98 m
↓
N 77.143113°
E 47.395020°		 ← 67.96 m →
4 620 m²		 N 77.143113°
E 47.397766°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 82792 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19990 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.631656646728516 y=0.152515411376953 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.631656646728516 × 217)
    floor (0.631656646728516 × 131072)
    floor (82792.5)     		tx = 82792
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.152515411376953 × 217)
    floor (0.152515411376953 × 131072)
    floor (19990.5)     		ty = 19990
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 82792 / 19990 ti = "17/82792/19990"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/82792/19990.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 82792 ÷ 217
    82792 ÷ 131072     		x = 0.63165283203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19990 ÷ 217
    19990 ÷ 131072     		y = 0.152511596679688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.63165283203125 × 2 - 1) × π
    0.2633056640625 × 3.1415926535     		Λ = 0.82719914
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.152511596679688 × 2 - 1) × π
    0.694976806640625 × 3.1415926535     		Φ = 2.18333403009508
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.82719914} λ = 0.82719914}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.18333403009508))-π/2
    2×atan(8.8758493313983)-π/2
    2×1.45860415862884-π/2
    2.91720831725767-1.57079632675     		φ = 1.34641199
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.82719914} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 47.395020°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.34641199 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.143725°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 82792 KachelY 19990 0.82719914 1.34641199 47.395020 77.143725
    Oben rechts KachelX + 1 82793 KachelY 19990 0.82724708 1.34641199 47.397766 77.143725
    Unten links KachelX 82792 KachelY + 1 19991 0.82719914 1.34640132 47.395020 77.143113
    Unten rechts KachelX + 1 82793 KachelY + 1 19991 0.82724708 1.34640132 47.397766 77.143113
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.34641199-1.34640132) × R
    1.06699999999904e-05 × 6371000     		dl = 67.9785699999389m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.34641199-1.34640132) × R
    1.06699999999904e-05 × 6371000     		dr = 67.9785699999389m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.82719914-0.82724708) × cos(1.34641199) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.222506175022136 × 6371000     		do = 67.959113160661m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.82719914-0.82724708) × cos(1.34640132) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.222516577526235 × 6371000     		du = 67.9622903531732m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.34641199)-sin(1.34640132))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.222506175022136-0.222516577526235)×R²
    abs(0.82724708-0.82719914)×1.04025040987554e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.04025040987554e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.04025040987554e-05×40589641000000     		ar = 4619.87132159073m²