Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 82792 / 17544
↖ ↑ ↗
← N 78.556130°
E 47.395020°		 ← 60.60 m → N 78.556130°
E 47.397766°		 →
↑
60.59 m
↓
↑
60.59 m
↓
N 78.555585°
E 47.395020°		 ← 60.60 m →
3 672 m²		 N 78.555585°
E 47.397766°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 82792 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 17544 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.631656646728516 y=0.133853912353516 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.631656646728516 × 217)
    floor (0.631656646728516 × 131072)
    floor (82792.5)     		tx = 82792
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.133853912353516 × 217)
    floor (0.133853912353516 × 131072)
    floor (17544.5)     		ty = 17544
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 82792 / 17544 ti = "17/82792/17544"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/82792/17544.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 82792 ÷ 217
    82792 ÷ 131072     		x = 0.63165283203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 17544 ÷ 217
    17544 ÷ 131072     		y = 0.13385009765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.63165283203125 × 2 - 1) × π
    0.2633056640625 × 3.1415926535     		Λ = 0.82719914
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.13385009765625 × 2 - 1) × π
    0.7322998046875 × 3.1415926535     		Φ = 2.30058768656574
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.82719914} λ = 0.82719914}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.30058768656574))-π/2
    2×atan(9.98004587060419)-π/2
    2×1.47092971757426-π/2
    2.94185943514852-1.57079632675     		φ = 1.37106311
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.82719914} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 47.395020°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.37106311 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.556130°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 82792 KachelY 17544 0.82719914 1.37106311 47.395020 78.556130
    Oben rechts KachelX + 1 82793 KachelY 17544 0.82724708 1.37106311 47.397766 78.556130
    Unten links KachelX 82792 KachelY + 1 17545 0.82719914 1.37105360 47.395020 78.555585
    Unten rechts KachelX + 1 82793 KachelY + 1 17545 0.82724708 1.37105360 47.397766 78.555585
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.37106311-1.37105360) × R
    9.50999999993485e-06 × 6371000     		dl = 60.5882099995849m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.37106311-1.37105360) × R
    9.50999999993485e-06 × 6371000     		dr = 60.5882099995849m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.82719914-0.82724708) × cos(1.37106311) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.198407858425338 × 6371000     		do = 60.5988669813343m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.82719914-0.82724708) × cos(1.37105360) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.198417179353235 × 6371000     		du = 60.6017138326347m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.37106311)-sin(1.37105360))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.198407858425338-0.198417179353235)×R²
    abs(0.82724708-0.82719914)×9.32092789696082e-06×R²
    4.79399999999686e-05×9.32092789696082e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×9.32092789696082e-06×40589641000000     		ar = 3671.66312134827m²