Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 82791 / 19995
↖ ↑ ↗
← N 77.140668°
E 47.392273°		 ← 67.97 m → N 77.140668°
E 47.395020°		 →
↑
67.98 m
↓
↑
67.98 m
↓
N 77.140057°
E 47.392273°		 ← 67.98 m →
4 621 m²		 N 77.140057°
E 47.395020°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 82791 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19995 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.631649017333984 y=0.152553558349609 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.631649017333984 × 217)
    floor (0.631649017333984 × 131072)
    floor (82791.5)     		tx = 82791
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.152553558349609 × 217)
    floor (0.152553558349609 × 131072)
    floor (19995.5)     		ty = 19995
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 82791 / 19995 ti = "17/82791/19995"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/82791/19995.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 82791 ÷ 217
    82791 ÷ 131072     		x = 0.631645202636719
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19995 ÷ 217
    19995 ÷ 131072     		y = 0.152549743652344
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.631645202636719 × 2 - 1) × π
    0.263290405273438 × 3.1415926535     		Λ = 0.82715120
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.152549743652344 × 2 - 1) × π
    0.694900512695312 × 3.1415926535     		Φ = 2.18309434559698
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.82715120} λ = 0.82715120}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.18309434559698))-π/2
    2×atan(8.87372218283855)-π/2
    2×1.45857748987266-π/2
    2.91715497974532-1.57079632675     		φ = 1.34635865
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.82715120} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 47.392273°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.34635865 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.140668°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 82791 KachelY 19995 0.82715120 1.34635865 47.392273 77.140668
    Oben rechts KachelX + 1 82792 KachelY 19995 0.82719914 1.34635865 47.395020 77.140668
    Unten links KachelX 82791 KachelY + 1 19996 0.82715120 1.34634798 47.392273 77.140057
    Unten rechts KachelX + 1 82792 KachelY + 1 19996 0.82719914 1.34634798 47.395020 77.140057
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.34635865-1.34634798) × R
    1.06699999999904e-05 × 6371000     		dl = 67.9785699999389m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.34635865-1.34634798) × R
    1.06699999999904e-05 × 6371000     		dr = 67.9785699999389m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.82715120-0.82719914) × cos(1.34635865) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.222558177540092 × 6371000     		do = 67.9749960683467m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.82715120-0.82719914) × cos(1.34634798) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.222568579917536 × 6371000     		du = 67.9781732221754m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.34635865)-sin(1.34634798))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.222558177540092-0.222568579917536)×R²
    abs(0.82719914-0.82715120)×1.04023774443185e-05×R²
    4.79400000000796e-05×1.04023774443185e-05×6371000²
    4.79400000000796e-05×1.04023774443185e-05×40589641000000     		ar = 4620.95101777019m²