Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 82782 / 16239
↖ ↑ ↗
← N 79.245901°
E 47.367554°		 ← 56.99 m → N 79.245901°
E 47.370300°		 →
↑
56.96 m
↓
↑
56.96 m
↓
N 79.245389°
E 47.367554°		 ← 56.99 m →
3 246 m²		 N 79.245389°
E 47.370300°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 82782 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 16239 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.631580352783203 y=0.123897552490234 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.631580352783203 × 217)
    floor (0.631580352783203 × 131072)
    floor (82782.5)     		tx = 82782
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.123897552490234 × 217)
    floor (0.123897552490234 × 131072)
    floor (16239.5)     		ty = 16239
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 82782 / 16239 ti = "17/82782/16239"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/82782/16239.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 82782 ÷ 217
    82782 ÷ 131072     		x = 0.631576538085938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 16239 ÷ 217
    16239 ÷ 131072     		y = 0.123893737792969
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.631576538085938 × 2 - 1) × π
    0.263153076171875 × 3.1415926535     		Λ = 0.82671977
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.123893737792969 × 2 - 1) × π
    0.752212524414062 × 3.1415926535     		Φ = 2.36314534056991
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.82671977} λ = 0.82671977}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.36314534056991))-π/2
    2×atan(10.6243160457087)-π/2
    2×1.47694910842158-π/2
    2.95389821684317-1.57079632675     		φ = 1.38310189
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.82671977} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 47.367554°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38310189 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.245901°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 82782 KachelY 16239 0.82671977 1.38310189 47.367554 79.245901
    Oben rechts KachelX + 1 82783 KachelY 16239 0.82676771 1.38310189 47.370300 79.245901
    Unten links KachelX 82782 KachelY + 1 16240 0.82671977 1.38309295 47.367554 79.245389
    Unten rechts KachelX + 1 82783 KachelY + 1 16240 0.82676771 1.38309295 47.370300 79.245389
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38310189-1.38309295) × R
    8.94000000006834e-06 × 6371000     		dl = 56.9567400004354m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38310189-1.38309295) × R
    8.94000000006834e-06 × 6371000     		dr = 56.9567400004354m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.82671977-0.82676771) × cos(1.38310189) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.186594322199587 × 6371000     		do = 56.9907089377018m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.82671977-0.82676771) × cos(1.38309295) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.186603105179365 × 6371000     		du = 56.9933914857999m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38310189)-sin(1.38309295))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.186594322199587-0.186603105179365)×R²
    abs(0.82676771-0.82671977)×8.78297977807696e-06×R²
    4.79400000000796e-05×8.78297977807696e-06×6371000²
    4.79400000000796e-05×8.78297977807696e-06×40589641000000     		ar = 3246.08138592957m²