Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 8278 / 25003
↖ ↑ ↗
← N 39.185433°
W134.527588°		 ← 473.42 m → N 39.185433°
W134.522095°		 →
↑
473.49 m
↓
↑
473.49 m
↓
N 39.181175°
W134.527588°		 ← 473.45 m →
224 170 m²		 N 39.181175°
W134.522095°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8278 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 25003 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.126319885253906 y=0.381523132324219 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.126319885253906 × 216)
    floor (0.126319885253906 × 65536)
    floor (8278.5)     		tx = 8278
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.381523132324219 × 216)
    floor (0.381523132324219 × 65536)
    floor (25003.5)     		ty = 25003
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 8278 / 25003 ti = "16/8278/25003"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/8278/25003.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8278 ÷ 216
    8278 ÷ 65536     		x = 0.126312255859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 25003 ÷ 216
    25003 ÷ 65536     		y = 0.381515502929688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.126312255859375 × 2 - 1) × π
    -0.74737548828125 × 3.1415926535     		Λ = -2.34794934
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.381515502929688 × 2 - 1) × π
    0.236968994140625 × 3.1415926535     		Φ = 0.744460051099472
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.34794934} λ = -2.34794934}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.744460051099472))-π/2
    2×atan(2.10530437124966)-π/2
    2×1.12735557721019-π/2
    2.25471115442038-1.57079632675     		φ = 0.68391483
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.34794934} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -134.527588°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.68391483 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 39.185433°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8278 KachelY 25003 -2.34794934 0.68391483 -134.527588 39.185433
    Oben rechts KachelX + 1 8279 KachelY 25003 -2.34785347 0.68391483 -134.522095 39.185433
    Unten links KachelX 8278 KachelY + 1 25004 -2.34794934 0.68384051 -134.527588 39.181175
    Unten rechts KachelX + 1 8279 KachelY + 1 25004 -2.34785347 0.68384051 -134.522095 39.181175
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.68391483-0.68384051) × R
    7.43199999999611e-05 × 6371000     		dl = 473.492719999752m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.68391483-0.68384051) × R
    7.43199999999611e-05 × 6371000     		dr = 473.492719999752m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.34794934--2.34785347) × cos(0.68391483) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.775105148753559 × 6371000     		do = 473.424745322694m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.34794934--2.34785347) × cos(0.68384051) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.775152104386658 × 6371000     		du = 473.453425249124m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.68391483)-sin(0.68384051))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.775105148753559-0.775152104386658)×R²
    abs(-2.34785347--2.34794934)×4.69556330995324e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.69556330995324e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.69556330995324e-05×40589641000000     		ar = 224169.960349481m²