Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 82768 / 16208
↖ ↑ ↗
← N 79.261777°
E 47.329101°		 ← 56.91 m → N 79.261777°
E 47.331848°		 →
↑
56.96 m
↓
↑
56.96 m
↓
N 79.261265°
E 47.329101°		 ← 56.91 m →
3 241 m²		 N 79.261265°
E 47.331848°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 82768 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 16208 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.631473541259766 y=0.123661041259766 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.631473541259766 × 217)
    floor (0.631473541259766 × 131072)
    floor (82768.5)     		tx = 82768
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.123661041259766 × 217)
    floor (0.123661041259766 × 131072)
    floor (16208.5)     		ty = 16208
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 82768 / 16208 ti = "17/82768/16208"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/82768/16208.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 82768 ÷ 217
    82768 ÷ 131072     		x = 0.6314697265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 16208 ÷ 217
    16208 ÷ 131072     		y = 0.1236572265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.6314697265625 × 2 - 1) × π
    0.262939453125 × 3.1415926535     		Λ = 0.82604865
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1236572265625 × 2 - 1) × π
    0.752685546875 × 3.1415926535     		Φ = 2.36463138445813
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.82604865} λ = 0.82604865}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.36463138445813))-π/2
    2×atan(10.640115982427)-π/2
    2×1.47708765093901-π/2
    2.95417530187802-1.57079632675     		φ = 1.38337898
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.82604865} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 47.329101°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38337898 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.261777°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 82768 KachelY 16208 0.82604865 1.38337898 47.329101 79.261777
    Oben rechts KachelX + 1 82769 KachelY 16208 0.82609659 1.38337898 47.331848 79.261777
    Unten links KachelX 82768 KachelY + 1 16209 0.82604865 1.38337004 47.329101 79.261265
    Unten rechts KachelX + 1 82769 KachelY + 1 16209 0.82609659 1.38337004 47.331848 79.261265
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38337898-1.38337004) × R
    8.94000000006834e-06 × 6371000     		dl = 56.9567400004354m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38337898-1.38337004) × R
    8.94000000006834e-06 × 6371000     		dr = 56.9567400004354m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.82604865-0.82609659) × cos(1.38337898) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.186322091557394 × 6371000     		do = 56.9075626922275m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.82604865-0.82609659) × cos(1.38337004) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.186330874999074 × 6371000     		du = 56.9102453814025m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38337898)-sin(1.38337004))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.186322091557394-0.186330874999074)×R²
    abs(0.82609659-0.82604865)×8.78344168037115e-06×R²
    4.79399999999686e-05×8.78344168037115e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×8.78344168037115e-06×40589641000000     		ar = 3241.34565107819m²