Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 82767 / 16209
↖ ↑ ↗
← N 79.261265°
E 47.326355°		 ← 56.90 m → N 79.261265°
E 47.329101°		 →
↑
56.89 m
↓
↑
56.89 m
↓
N 79.260753°
E 47.326355°		 ← 56.90 m →
3 237 m²		 N 79.260753°
E 47.329101°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 82767 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 16209 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.631465911865234 y=0.123668670654297 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.631465911865234 × 217)
    floor (0.631465911865234 × 131072)
    floor (82767.5)     		tx = 82767
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.123668670654297 × 217)
    floor (0.123668670654297 × 131072)
    floor (16209.5)     		ty = 16209
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 82767 / 16209 ti = "17/82767/16209"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/82767/16209.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 82767 ÷ 217
    82767 ÷ 131072     		x = 0.631462097167969
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 16209 ÷ 217
    16209 ÷ 131072     		y = 0.123664855957031
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.631462097167969 × 2 - 1) × π
    0.262924194335938 × 3.1415926535     		Λ = 0.82600072
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.123664855957031 × 2 - 1) × π
    0.752670288085938 × 3.1415926535     		Φ = 2.36458344755851
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.82600072} λ = 0.82600072}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.36458344755851))-π/2
    2×atan(10.6396059404802)-π/2
    2×1.47708318498202-π/2
    2.95416636996405-1.57079632675     		φ = 1.38337004
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.82600072} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 47.326355°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38337004 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.261265°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 82767 KachelY 16209 0.82600072 1.38337004 47.326355 79.261265
    Oben rechts KachelX + 1 82768 KachelY 16209 0.82604865 1.38337004 47.329101 79.261265
    Unten links KachelX 82767 KachelY + 1 16210 0.82600072 1.38336111 47.326355 79.260753
    Unten rechts KachelX + 1 82768 KachelY + 1 16210 0.82604865 1.38336111 47.329101 79.260753
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38337004-1.38336111) × R
    8.92999999990707e-06 × 6371000     		dl = 56.8930299994079m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38337004-1.38336111) × R
    8.92999999990707e-06 × 6371000     		dr = 56.8930299994079m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.82600072-0.82604865) × cos(1.38337004) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.186330874999074 × 6371000     		do = 56.8983742414284m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.82600072-0.82604865) × cos(1.38336111) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.186339648601008 × 6371000     		du = 56.9010533663254m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38337004)-sin(1.38336111))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.186330874999074-0.186339648601008)×R²
    abs(0.82604865-0.82600072)×8.77360193410337e-06×R²
    4.79300000000293e-05×8.77360193410337e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×8.77360193410337e-06×40589641000000     		ar = 3237.19712426897m²