Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 82766 / 16175
↖ ↑ ↗
← N 79.278651°
E 47.323608°		 ← 56.82 m → N 79.278651°
E 47.326355°		 →
↑
56.83 m
↓
↑
56.83 m
↓
N 79.278140°
E 47.323608°		 ← 56.82 m →
3 229 m²		 N 79.278140°
E 47.326355°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 82766 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 16175 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.631458282470703 y=0.123409271240234 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.631458282470703 × 217)
    floor (0.631458282470703 × 131072)
    floor (82766.5)     		tx = 82766
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.123409271240234 × 217)
    floor (0.123409271240234 × 131072)
    floor (16175.5)     		ty = 16175
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 82766 / 16175 ti = "17/82766/16175"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/82766/16175.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 82766 ÷ 217
    82766 ÷ 131072     		x = 0.631454467773438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 16175 ÷ 217
    16175 ÷ 131072     		y = 0.123405456542969
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.631454467773438 × 2 - 1) × π
    0.262908935546875 × 3.1415926535     		Λ = 0.82595278
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.123405456542969 × 2 - 1) × π
    0.753189086914062 × 3.1415926535     		Φ = 2.36621330214559
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.82595278} λ = 0.82595278}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.36621330214559))-π/2
    2×atan(10.6569610903705)-π/2
    2×1.47723490958126-π/2
    2.95446981916253-1.57079632675     		φ = 1.38367349
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.82595278} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 47.323608°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38367349 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.278651°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 82766 KachelY 16175 0.82595278 1.38367349 47.323608 79.278651
    Oben rechts KachelX + 1 82767 KachelY 16175 0.82600072 1.38367349 47.326355 79.278651
    Unten links KachelX 82766 KachelY + 1 16176 0.82595278 1.38366457 47.323608 79.278140
    Unten rechts KachelX + 1 82767 KachelY + 1 16176 0.82600072 1.38366457 47.326355 79.278140
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38367349-1.38366457) × R
    8.91999999996784e-06 × 6371000     		dl = 56.8293199997951m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38367349-1.38366457) × R
    8.91999999996784e-06 × 6371000     		dr = 56.8293199997951m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.82595278-0.82600072) × cos(1.38367349) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.186032730729229 × 6371000     		do = 56.8191844471582m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.82595278-0.82600072) × cos(1.38366457) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.186041495010273 × 6371000     		du = 56.8218612841817m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38367349)-sin(1.38366457))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.186032730729229-0.186041495010273)×R²
    abs(0.82600072-0.82595278)×8.76428104421012e-06×R²
    4.79399999999686e-05×8.76428104421012e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×8.76428104421012e-06×40589641000000     		ar = 3229.07167650054m²