Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 82764 / 17484
↖ ↑ ↗
← N 78.588780°
E 47.318115°		 ← 60.42 m → N 78.588780°
E 47.320862°		 →
↑
60.46 m
↓
↑
60.46 m
↓
N 78.588236°
E 47.318115°		 ← 60.42 m →
3 653 m²		 N 78.588236°
E 47.320862°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 82764 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 17484 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.631443023681641 y=0.133396148681641 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.631443023681641 × 217)
    floor (0.631443023681641 × 131072)
    floor (82764.5)     		tx = 82764
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.133396148681641 × 217)
    floor (0.133396148681641 × 131072)
    floor (17484.5)     		ty = 17484
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 82764 / 17484 ti = "17/82764/17484"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/82764/17484.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 82764 ÷ 217
    82764 ÷ 131072     		x = 0.631439208984375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 17484 ÷ 217
    17484 ÷ 131072     		y = 0.133392333984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.631439208984375 × 2 - 1) × π
    0.26287841796875 × 3.1415926535     		Λ = 0.82585691
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.133392333984375 × 2 - 1) × π
    0.73321533203125 × 3.1415926535     		Φ = 2.30346390054294
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.82585691} λ = 0.82585691}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.30346390054294))-π/2
    2×atan(10.0087919381339)-π/2
    2×1.47121464748674-π/2
    2.94242929497347-1.57079632675     		φ = 1.37163297
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.82585691} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 47.318115°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.37163297 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.588780°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 82764 KachelY 17484 0.82585691 1.37163297 47.318115 78.588780
    Oben rechts KachelX + 1 82765 KachelY 17484 0.82590484 1.37163297 47.320862 78.588780
    Unten links KachelX 82764 KachelY + 1 17485 0.82585691 1.37162348 47.318115 78.588236
    Unten rechts KachelX + 1 82765 KachelY + 1 17485 0.82590484 1.37162348 47.320862 78.588236
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.37163297-1.37162348) × R
    9.4900000000564e-06 × 6371000     		dl = 60.4607900003593m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.37163297-1.37162348) × R
    9.4900000000564e-06 × 6371000     		dr = 60.4607900003593m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.82585691-0.82590484) × cos(1.37163297) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.197849295316355 × 6371000     		do = 60.4156624517685m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.82585691-0.82590484) × cos(1.37162348) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.197858597713397 × 6371000     		du = 60.4185030506134m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.37163297)-sin(1.37162348))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.197849295316355-0.197858597713397)×R²
    abs(0.82590484-0.82585691)×9.3023970427486e-06×R²
    4.79299999999183e-05×9.3023970427486e-06×6371000²
    4.79299999999183e-05×9.3023970427486e-06×40589641000000     		ar = 3652.86455263899m²