Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 82760 / 17448
↖ ↑ ↗
← N 78.608326°
E 47.307129°		 ← 60.33 m → N 78.608326°
E 47.309876°		 →
↑
60.27 m
↓
↑
60.27 m
↓
N 78.607784°
E 47.307129°		 ← 60.33 m →
3 636 m²		 N 78.607784°
E 47.309876°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 82760 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 17448 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.631412506103516 y=0.133121490478516 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.631412506103516 × 217)
    floor (0.631412506103516 × 131072)
    floor (82760.5)     		tx = 82760
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.133121490478516 × 217)
    floor (0.133121490478516 × 131072)
    floor (17448.5)     		ty = 17448
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 82760 / 17448 ti = "17/82760/17448"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/82760/17448.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 82760 ÷ 217
    82760 ÷ 131072     		x = 0.63140869140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 17448 ÷ 217
    17448 ÷ 131072     		y = 0.13311767578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.63140869140625 × 2 - 1) × π
    0.2628173828125 × 3.1415926535     		Λ = 0.82566516
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.13311767578125 × 2 - 1) × π
    0.7337646484375 × 3.1415926535     		Φ = 2.30518962892926
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.82566516} λ = 0.82566516}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.30518962892926))-π/2
    2×atan(10.0260793068554)-π/2
    2×1.47138522024515-π/2
    2.94277044049029-1.57079632675     		φ = 1.37197411
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.82566516} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 47.307129°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.37197411 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.608326°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 82760 KachelY 17448 0.82566516 1.37197411 47.307129 78.608326
    Oben rechts KachelX + 1 82761 KachelY 17448 0.82571310 1.37197411 47.309876 78.608326
    Unten links KachelX 82760 KachelY + 1 17449 0.82566516 1.37196465 47.307129 78.607784
    Unten rechts KachelX + 1 82761 KachelY + 1 17449 0.82571310 1.37196465 47.309876 78.607784
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.37197411-1.37196465) × R
    9.46000000001668e-06 × 6371000     		dl = 60.2696600001062m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.37197411-1.37196465) × R
    9.46000000001668e-06 × 6371000     		dr = 60.2696600001062m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.82566516-0.82571310) × cos(1.37197411) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.197514887312289 × 6371000     		do = 60.3261306183331m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.82566516-0.82571310) × cos(1.37196465) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.197524160940386 × 6371000     		du = 60.3289630230571m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.37197411)-sin(1.37196465))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.197514887312289-0.197524160940386)×R²
    abs(0.82571310-0.82566516)×9.27362809696741e-06×R²
    4.79399999999686e-05×9.27362809696741e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×9.27362809696741e-06×40589641000000     		ar = 3635.92073564669m²