Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 82759 / 16171
↖ ↑ ↗
← N 79.280695°
E 47.304382°		 ← 56.81 m → N 79.280695°
E 47.307129°		 →
↑
56.83 m
↓
↑
56.83 m
↓
N 79.280184°
E 47.304382°		 ← 56.81 m →
3 228 m²		 N 79.280184°
E 47.307129°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 82759 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 16171 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.631404876708984 y=0.123378753662109 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.631404876708984 × 217)
    floor (0.631404876708984 × 131072)
    floor (82759.5)     		tx = 82759
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.123378753662109 × 217)
    floor (0.123378753662109 × 131072)
    floor (16171.5)     		ty = 16171
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 82759 / 16171 ti = "17/82759/16171"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/82759/16171.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 82759 ÷ 217
    82759 ÷ 131072     		x = 0.631401062011719
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 16171 ÷ 217
    16171 ÷ 131072     		y = 0.123374938964844
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.631401062011719 × 2 - 1) × π
    0.262802124023438 × 3.1415926535     		Λ = 0.82561722
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.123374938964844 × 2 - 1) × π
    0.753250122070312 × 3.1415926535     		Φ = 2.36640504974407
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.82561722} λ = 0.82561722}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.36640504974407))-π/2
    2×atan(10.6590047329922)-π/2
    2×1.4772527435657-π/2
    2.9545054871314-1.57079632675     		φ = 1.38370916
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.82561722} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 47.304382°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38370916 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.280695°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 82759 KachelY 16171 0.82561722 1.38370916 47.304382 79.280695
    Oben rechts KachelX + 1 82760 KachelY 16171 0.82566516 1.38370916 47.307129 79.280695
    Unten links KachelX 82759 KachelY + 1 16172 0.82561722 1.38370024 47.304382 79.280184
    Unten rechts KachelX + 1 82760 KachelY + 1 16172 0.82566516 1.38370024 47.307129 79.280184
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38370916-1.38370024) × R
    8.91999999996784e-06 × 6371000     		dl = 56.8293199997951m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38370916-1.38370024) × R
    8.91999999996784e-06 × 6371000     		dr = 56.8293199997951m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.82561722-0.82566516) × cos(1.38370916) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.185997683282541 × 6371000     		do = 56.8084800548185m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.82561722-0.82566516) × cos(1.38370024) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.186006447622772 × 6371000     		du = 56.8111569099192m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38370916)-sin(1.38370024))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.185997683282541-0.186006447622772)×R²
    abs(0.82566516-0.82561722)×8.76434023125428e-06×R²
    4.79399999999686e-05×8.76434023125428e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×8.76434023125428e-06×40589641000000     		ar = 3228.4633537406m²