Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 82758 / 16314
↖ ↑ ↗
← N 79.207396°
E 47.301636°		 ← 57.18 m → N 79.207396°
E 47.304382°		 →
↑
57.21 m
↓
↑
57.21 m
↓
N 79.206881°
E 47.301636°		 ← 57.18 m →
3 271 m²		 N 79.206881°
E 47.304382°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 82758 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 16314 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.631397247314453 y=0.124469757080078 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.631397247314453 × 217)
    floor (0.631397247314453 × 131072)
    floor (82758.5)     		tx = 82758
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.124469757080078 × 217)
    floor (0.124469757080078 × 131072)
    floor (16314.5)     		ty = 16314
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 82758 / 16314 ti = "17/82758/16314"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/82758/16314.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 82758 ÷ 217
    82758 ÷ 131072     		x = 0.631393432617188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 16314 ÷ 217
    16314 ÷ 131072     		y = 0.124465942382812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.631393432617188 × 2 - 1) × π
    0.262786865234375 × 3.1415926535     		Λ = 0.82556929
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.124465942382812 × 2 - 1) × π
    0.751068115234375 × 3.1415926535     		Φ = 2.3595500730984
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.82556929} λ = 0.82556929}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.3595500730984))-π/2
    2×atan(10.5861873702866)-π/2
    2×1.4766130871133-π/2
    2.95322617422659-1.57079632675     		φ = 1.38242985
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.82556929} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 47.301636°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38242985 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.207396°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 82758 KachelY 16314 0.82556929 1.38242985 47.301636 79.207396
    Oben rechts KachelX + 1 82759 KachelY 16314 0.82561722 1.38242985 47.304382 79.207396
    Unten links KachelX 82758 KachelY + 1 16315 0.82556929 1.38242087 47.301636 79.206881
    Unten rechts KachelX + 1 82759 KachelY + 1 16315 0.82561722 1.38242087 47.304382 79.206881
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38242985-1.38242087) × R
    8.98000000004728e-06 × 6371000     		dl = 57.2115800003012m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38242985-1.38242087) × R
    8.98000000004728e-06 × 6371000     		dr = 57.2115800003012m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.82556929-0.82561722) × cos(1.38242985) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.187254517009036 × 6371000     		do = 57.1804194405838m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.82556929-0.82561722) × cos(1.38242087) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.187263338158129 × 6371000     		du = 57.1831130845777m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38242985)-sin(1.38242087))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.187254517009036-0.187263338158129)×R²
    abs(0.82561722-0.82556929)×8.82114909278586e-06×R²
    4.79300000000293e-05×8.82114909278586e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×8.82114909278586e-06×40589641000000     		ar = 3271.45919500588m²