Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 82757 / 16315
↖ ↑ ↗
← N 79.206881°
E 47.298889°		 ← 57.20 m → N 79.206881°
E 47.301636°		 →
↑
57.21 m
↓
↑
57.21 m
↓
N 79.206367°
E 47.298889°		 ← 57.20 m →
3 272 m²		 N 79.206367°
E 47.301636°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 82757 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 16315 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.631389617919922 y=0.124477386474609 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.631389617919922 × 217)
    floor (0.631389617919922 × 131072)
    floor (82757.5)     		tx = 82757
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.124477386474609 × 217)
    floor (0.124477386474609 × 131072)
    floor (16315.5)     		ty = 16315
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 82757 / 16315 ti = "17/82757/16315"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/82757/16315.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 82757 ÷ 217
    82757 ÷ 131072     		x = 0.631385803222656
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 16315 ÷ 217
    16315 ÷ 131072     		y = 0.124473571777344
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.631385803222656 × 2 - 1) × π
    0.262771606445312 × 3.1415926535     		Λ = 0.82552135
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.124473571777344 × 2 - 1) × π
    0.751052856445312 × 3.1415926535     		Φ = 2.35950213619878
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.82552135} λ = 0.82552135}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.35950213619878))-π/2
    2×atan(10.5856799134483)-π/2
    2×1.47660859880707-π/2
    2.95321719761414-1.57079632675     		φ = 1.38242087
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.82552135} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 47.298889°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38242087 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.206881°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 82757 KachelY 16315 0.82552135 1.38242087 47.298889 79.206881
    Oben rechts KachelX + 1 82758 KachelY 16315 0.82556929 1.38242087 47.301636 79.206881
    Unten links KachelX 82757 KachelY + 1 16316 0.82552135 1.38241189 47.298889 79.206367
    Unten rechts KachelX + 1 82758 KachelY + 1 16316 0.82556929 1.38241189 47.301636 79.206367
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38242087-1.38241189) × R
    8.98000000004728e-06 × 6371000     		dl = 57.2115800003012m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38242087-1.38241189) × R
    8.98000000004728e-06 × 6371000     		dr = 57.2115800003012m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.82552135-0.82556929) × cos(1.38242087) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.187263338158129 × 6371000     		do = 57.1950436317792m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.82552135-0.82556929) × cos(1.38241189) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.187272159292121 × 6371000     		du = 57.1977378331563m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38242087)-sin(1.38241189))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.187263338158129-0.187272159292121)×R²
    abs(0.82556929-0.82552135)×8.82113399180984e-06×R²
    4.79399999999686e-05×8.82113399180984e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×8.82113399180984e-06×40589641000000     		ar = 3272.29588426373m²