Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 8275 / 8025
↖ ↑ ↗
← N 79.342333°
W134.544067°		 ← 112.96 m → N 79.342333°
W134.538574°		 →
↑
113.02 m
↓
↑
113.02 m
↓
N 79.341317°
W134.544067°		 ← 112.97 m →
12 767 m²		 N 79.341317°
W134.538574°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8275 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8025 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.126274108886719 y=0.122459411621094 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.126274108886719 × 216)
    floor (0.126274108886719 × 65536)
    floor (8275.5)     		tx = 8275
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.122459411621094 × 216)
    floor (0.122459411621094 × 65536)
    floor (8025.5)     		ty = 8025
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 8275 / 8025 ti = "16/8275/8025"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/8275/8025.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8275 ÷ 216
    8275 ÷ 65536     		x = 0.126266479492188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8025 ÷ 216
    8025 ÷ 65536     		y = 0.122451782226562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.126266479492188 × 2 - 1) × π
    -0.747467041015625 × 3.1415926535     		Λ = -2.34823696
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.122451782226562 × 2 - 1) × π
    0.755096435546875 × 3.1415926535     		Φ = 2.3722054145981
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.34823696} λ = -2.34823696}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.3722054145981))-π/2
    2×atan(10.7210105036261)-π/2
    2×1.47779063645116-π/2
    2.95558127290231-1.57079632675     		φ = 1.38478495
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.34823696} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -134.544067°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38478495 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.342333°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8275 KachelY 8025 -2.34823696 1.38478495 -134.544067 79.342333
    Oben rechts KachelX + 1 8276 KachelY 8025 -2.34814109 1.38478495 -134.538574 79.342333
    Unten links KachelX 8275 KachelY + 1 8026 -2.34823696 1.38476721 -134.544067 79.341317
    Unten rechts KachelX + 1 8276 KachelY + 1 8026 -2.34814109 1.38476721 -134.538574 79.341317
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38478495-1.38476721) × R
    1.77400000000993e-05 × 6371000     		dl = 113.021540000633m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38478495-1.38476721) × R
    1.77400000000993e-05 × 6371000     		dr = 113.021540000633m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.34823696--2.34814109) × cos(1.38478495) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.184940558195428 × 6371000     		do = 112.959431122738m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.34823696--2.34814109) × cos(1.38476721) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.184957992146159 × 6371000     		du = 112.970079566627m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38478495)-sin(1.38476721))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.184940558195428-0.184957992146159)×R²
    abs(-2.34814109--2.34823696)×1.74339507302834e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.74339507302834e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.74339507302834e-05×40589641000000     		ar = 12767.4506149551m²