Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 82748 / 16164
↖ ↑ ↗
← N 79.284270°
E 47.274170°		 ← 56.78 m → N 79.284270°
E 47.276916°		 →
↑
56.77 m
↓
↑
56.77 m
↓
N 79.283760°
E 47.274170°		 ← 56.78 m →
3 223 m²		 N 79.283760°
E 47.276916°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 82748 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 16164 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.631320953369141 y=0.123325347900391 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.631320953369141 × 217)
    floor (0.631320953369141 × 131072)
    floor (82748.5)     		tx = 82748
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.123325347900391 × 217)
    floor (0.123325347900391 × 131072)
    floor (16164.5)     		ty = 16164
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 82748 / 16164 ti = "17/82748/16164"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/82748/16164.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 82748 ÷ 217
    82748 ÷ 131072     		x = 0.631317138671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 16164 ÷ 217
    16164 ÷ 131072     		y = 0.123321533203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.631317138671875 × 2 - 1) × π
    0.26263427734375 × 3.1415926535     		Λ = 0.82508992
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.123321533203125 × 2 - 1) × π
    0.75335693359375 × 3.1415926535     		Φ = 2.36674060804141
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.82508992} λ = 0.82508992}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.36674060804141))-π/2
    2×atan(10.6625820506375)-π/2
    2×1.4772839449547-π/2
    2.9545678899094-1.57079632675     		φ = 1.38377156
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.82508992} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 47.274170°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38377156 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.284270°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 82748 KachelY 16164 0.82508992 1.38377156 47.274170 79.284270
    Oben rechts KachelX + 1 82749 KachelY 16164 0.82513785 1.38377156 47.276916 79.284270
    Unten links KachelX 82748 KachelY + 1 16165 0.82508992 1.38376265 47.274170 79.283760
    Unten rechts KachelX + 1 82749 KachelY + 1 16165 0.82513785 1.38376265 47.276916 79.283760
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38377156-1.38376265) × R
    8.91000000002862e-06 × 6371000     		dl = 56.7656100001823m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38377156-1.38376265) × R
    8.91000000002862e-06 × 6371000     		dr = 56.7656100001823m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.82508992-0.82513785) × cos(1.38377156) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.185936371789056 × 6371000     		do = 56.7779079402441m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.82508992-0.82513785) × cos(1.38376265) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.185945126407199 × 6371000     		du = 56.7805812682122m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38377156)-sin(1.38376265))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.185936371789056-0.185945126407199)×R²
    abs(0.82513785-0.82508992)×8.75461814323075e-06×R²
    4.79299999999183e-05×8.75461814323075e-06×6371000²
    4.79299999999183e-05×8.75461814323075e-06×40589641000000     		ar = 3223.10845542339m²