Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 8273 / 4500
↖ ↑ ↗
← N 62.714462°
E  1.779785°		 ← 1 120.06 m → N 62.714462°
E  1.801758°		 →
↑
1 120.21 m
↓
↑
1 120.21 m
↓
N 62.704388°
E  1.779785°		 ← 1 120.44 m →
1 254 920 m²		 N 62.704388°
E  1.801758°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8273 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4500 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.504974365234375 y=0.274688720703125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.504974365234375 × 214)
    floor (0.504974365234375 × 16384)
    floor (8273.5)     		tx = 8273
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.274688720703125 × 214)
    floor (0.274688720703125 × 16384)
    floor (4500.5)     		ty = 4500
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 8273 / 4500 ti = "14/8273/4500"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/8273/4500.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8273 ÷ 214
    8273 ÷ 16384     		x = 0.50494384765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4500 ÷ 214
    4500 ÷ 16384     		y = 0.274658203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.50494384765625 × 2 - 1) × π
    0.0098876953125 × 3.1415926535     		Λ = 0.03106311
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.274658203125 × 2 - 1) × π
    0.45068359375 × 3.1415926535     		Φ = 1.41586426717798
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.03106311} λ = 0.03106311}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.41586426717798))-π/2
    2×atan(4.12004574797815)-π/2
    2×1.33268508953234-π/2
    2.66537017906468-1.57079632675     		φ = 1.09457385
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.03106311} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 1.779785°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.09457385 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 62.714462°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8273 KachelY 4500 0.03106311 1.09457385 1.779785 62.714462
    Oben rechts KachelX + 1 8274 KachelY 4500 0.03144661 1.09457385 1.801758 62.714462
    Unten links KachelX 8273 KachelY + 1 4501 0.03106311 1.09439802 1.779785 62.704388
    Unten rechts KachelX + 1 8274 KachelY + 1 4501 0.03144661 1.09439802 1.801758 62.704388
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.09457385-1.09439802) × R
    0.000175829999999877 × 6371000     		dl = 1120.21292999922m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.09457385-1.09439802) × R
    0.000175829999999877 × 6371000     		dr = 1120.21292999922m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.03106311-0.03144661) × cos(1.09457385) × R
    0.000383499999999998 × 0.458425244889664 × 6371000     		do = 1120.06054469615m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.03106311-0.03144661) × cos(1.09439802) × R
    0.000383499999999998 × 0.458581503720878 × 6371000     		du = 1120.44232853889m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.09457385)-sin(1.09439802))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.458425244889664-0.458581503720878)×R²
    abs(0.03144661-0.03106311)×0.000156258831214229×R²
    0.000383499999999998×0.000156258831214229×6371000²
    0.000383499999999998×0.000156258831214229×40589641000000     		ar = 1254920.14738194m²