Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 82728 / 16280
↖ ↑ ↗
← N 79.224868°
E 47.219238°		 ← 57.10 m → N 79.224868°
E 47.221985°		 →
↑
57.08 m
↓
↑
57.08 m
↓
N 79.224355°
E 47.219238°		 ← 57.10 m →
3 260 m²		 N 79.224355°
E 47.221985°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 82728 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 16280 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.631168365478516 y=0.124210357666016 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.631168365478516 × 217)
    floor (0.631168365478516 × 131072)
    floor (82728.5)     		tx = 82728
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.124210357666016 × 217)
    floor (0.124210357666016 × 131072)
    floor (16280.5)     		ty = 16280
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 82728 / 16280 ti = "17/82728/16280"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/82728/16280.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 82728 ÷ 217
    82728 ÷ 131072     		x = 0.63116455078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 16280 ÷ 217
    16280 ÷ 131072     		y = 0.12420654296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.63116455078125 × 2 - 1) × π
    0.2623291015625 × 3.1415926535     		Λ = 0.82413118
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.12420654296875 × 2 - 1) × π
    0.7515869140625 × 3.1415926535     		Φ = 2.36117992768549
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.82413118} λ = 0.82413118}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.36117992768549))-π/2
    2×atan(10.6034553846854)-π/2
    2×1.47676556383766-π/2
    2.95353112767532-1.57079632675     		φ = 1.38273480
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.82413118} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 47.219238°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38273480 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.224868°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 82728 KachelY 16280 0.82413118 1.38273480 47.219238 79.224868
    Oben rechts KachelX + 1 82729 KachelY 16280 0.82417912 1.38273480 47.221985 79.224868
    Unten links KachelX 82728 KachelY + 1 16281 0.82413118 1.38272584 47.219238 79.224355
    Unten rechts KachelX + 1 82729 KachelY + 1 16281 0.82417912 1.38272584 47.221985 79.224355
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38273480-1.38272584) × R
    8.95999999994679e-06 × 6371000     		dl = 57.084159999661m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38273480-1.38272584) × R
    8.95999999994679e-06 × 6371000     		dr = 57.084159999661m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.82413118-0.82417912) × cos(1.38273480) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.186954952436226 × 6371000     		do = 57.1008546945939m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.82413118-0.82417912) × cos(1.38272584) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.186963754450371 × 6371000     		du = 57.1035430562778m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38273480)-sin(1.38272584))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.186954952436226-0.186963754450371)×R²
    abs(0.82417912-0.82413118)×8.80201414571458e-06×R²
    4.79400000000796e-05×8.80201414571458e-06×6371000²
    4.79400000000796e-05×8.80201414571458e-06×40589641000000     		ar = 3259.63105694597m²