Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 82726 / 16338
↖ ↑ ↗
← N 79.195045°
E 47.213745°		 ← 57.26 m → N 79.195045°
E 47.216492°		 →
↑
57.21 m
↓
↑
57.21 m
↓
N 79.194531°
E 47.213745°		 ← 57.26 m →
3 276 m²		 N 79.194531°
E 47.216492°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 82726 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 16338 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.631153106689453 y=0.124652862548828 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.631153106689453 × 217)
    floor (0.631153106689453 × 131072)
    floor (82726.5)     		tx = 82726
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.124652862548828 × 217)
    floor (0.124652862548828 × 131072)
    floor (16338.5)     		ty = 16338
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 82726 / 16338 ti = "17/82726/16338"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/82726/16338.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 82726 ÷ 217
    82726 ÷ 131072     		x = 0.631149291992188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 16338 ÷ 217
    16338 ÷ 131072     		y = 0.124649047851562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.631149291992188 × 2 - 1) × π
    0.262298583984375 × 3.1415926535     		Λ = 0.82403530
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.124649047851562 × 2 - 1) × π
    0.750701904296875 × 3.1415926535     		Φ = 2.35839958750752
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.82403530} λ = 0.82403530}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.35839958750752))-π/2
    2×atan(10.574015117598)-π/2
    2×1.47650530941064-π/2
    2.95301061882129-1.57079632675     		φ = 1.38221429
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.82403530} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 47.213745°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38221429 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.195045°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 82726 KachelY 16338 0.82403530 1.38221429 47.213745 79.195045
    Oben rechts KachelX + 1 82727 KachelY 16338 0.82408324 1.38221429 47.216492 79.195045
    Unten links KachelX 82726 KachelY + 1 16339 0.82403530 1.38220531 47.213745 79.194531
    Unten rechts KachelX + 1 82727 KachelY + 1 16339 0.82408324 1.38220531 47.216492 79.194531
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38221429-1.38220531) × R
    8.98000000004728e-06 × 6371000     		dl = 57.2115800003012m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38221429-1.38220531) × R
    8.98000000004728e-06 × 6371000     		dr = 57.2115800003012m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.82403530-0.82408324) × cos(1.38221429) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.187466259708791 × 6371000     		do = 57.257021096552m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.82403530-0.82408324) × cos(1.38220531) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.187475080495196 × 6371000     		du = 57.2597151917673m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38221429)-sin(1.38220531))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.187466259708791-0.187475080495196)×R²
    abs(0.82408324-0.82403530)×8.82078640535022e-06×R²
    4.79399999999686e-05×8.82078640535022e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×8.82078640535022e-06×40589641000000     		ar = 3275.8417096074m²