Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 8272 / 4495
↖ ↑ ↗
← N 62.764783°
E  1.757813°		 ← 1 118.12 m → N 62.764783°
E  1.779785°		 →
↑
1 118.30 m
↓
↑
1 118.30 m
↓
N 62.754726°
E  1.757813°		 ← 1 118.51 m →
1 250 613 m²		 N 62.754726°
E  1.779785°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8272 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4495 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.504913330078125 y=0.274383544921875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.504913330078125 × 214)
    floor (0.504913330078125 × 16384)
    floor (8272.5)     		tx = 8272
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.274383544921875 × 214)
    floor (0.274383544921875 × 16384)
    floor (4495.5)     		ty = 4495
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 8272 / 4495 ti = "14/8272/4495"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/8272/4495.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8272 ÷ 214
    8272 ÷ 16384     		x = 0.5048828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4495 ÷ 214
    4495 ÷ 16384     		y = 0.27435302734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5048828125 × 2 - 1) × π
    0.009765625 × 3.1415926535     		Λ = 0.03067962
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.27435302734375 × 2 - 1) × π
    0.4512939453125 × 3.1415926535     		Φ = 1.41778174316278
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.03067962} λ = 0.03067962}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.41778174316278))-π/2
    2×atan(4.12795341571482)-π/2
    2×1.33312422489597-π/2
    2.66624844979195-1.57079632675     		φ = 1.09545212
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.03067962} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 1.757813°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.09545212 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 62.764783°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8272 KachelY 4495 0.03067962 1.09545212 1.757813 62.764783
    Oben rechts KachelX + 1 8273 KachelY 4495 0.03106311 1.09545212 1.779785 62.764783
    Unten links KachelX 8272 KachelY + 1 4496 0.03067962 1.09527659 1.757813 62.754726
    Unten rechts KachelX + 1 8273 KachelY + 1 4496 0.03106311 1.09527659 1.779785 62.754726
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.09545212-1.09527659) × R
    0.000175529999999924 × 6371000     		dl = 1118.30162999951m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.09545212-1.09527659) × R
    0.000175529999999924 × 6371000     		dr = 1118.30162999951m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.03067962-0.03106311) × cos(1.09545212) × R
    0.00038349 × 0.457644520678001 × 6371000     		do = 1118.12386148295m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.03067962-0.03106311) × cos(1.09527659) × R
    0.00038349 × 0.45780058353743 × 6371000     		du = 1118.50515656928m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.09545212)-sin(1.09527659))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.457644520678001-0.45780058353743)×R²
    abs(0.03106311-0.03067962)×0.000156062859428707×R²
    0.00038349×0.000156062859428707×6371000²
    0.00038349×0.000156062859428707×40589641000000     		ar = 1250612.94150744m²