Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 82712 / 20120
↖ ↑ ↗
← N 77.064036°
E 47.175293°		 ← 68.36 m → N 77.064036°
E 47.178039°		 →
↑
68.36 m
↓
↑
68.36 m
↓
N 77.063421°
E 47.175293°		 ← 68.36 m →
4 673 m²		 N 77.063421°
E 47.178039°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 82712 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20120 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.631046295166016 y=0.153507232666016 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.631046295166016 × 217)
    floor (0.631046295166016 × 131072)
    floor (82712.5)     		tx = 82712
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.153507232666016 × 217)
    floor (0.153507232666016 × 131072)
    floor (20120.5)     		ty = 20120
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 82712 / 20120 ti = "17/82712/20120"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/82712/20120.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 82712 ÷ 217
    82712 ÷ 131072     		x = 0.63104248046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20120 ÷ 217
    20120 ÷ 131072     		y = 0.15350341796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.63104248046875 × 2 - 1) × π
    0.2620849609375 × 3.1415926535     		Λ = 0.82336419
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.15350341796875 × 2 - 1) × π
    0.6929931640625 × 3.1415926535     		Φ = 2.17710223314447
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.82336419} λ = 0.82336419}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.17710223314447))-π/2
    2×atan(8.82070883125086)-π/2
    2×1.45790874181298-π/2
    2.91581748362595-1.57079632675     		φ = 1.34502116
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.82336419} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 47.175293°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.34502116 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.064036°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 82712 KachelY 20120 0.82336419 1.34502116 47.175293 77.064036
    Oben rechts KachelX + 1 82713 KachelY 20120 0.82341212 1.34502116 47.178039 77.064036
    Unten links KachelX 82712 KachelY + 1 20121 0.82336419 1.34501043 47.175293 77.063421
    Unten rechts KachelX + 1 82713 KachelY + 1 20121 0.82341212 1.34501043 47.178039 77.063421
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.34502116-1.34501043) × R
    1.07299999998478e-05 × 6371000     		dl = 68.3608299990304m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.34502116-1.34501043) × R
    1.07299999998478e-05 × 6371000     		dr = 68.3608299990304m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.82336419-0.82341212) × cos(1.34502116) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.223861923049263 × 6371000     		do = 68.3589312619102m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.82336419-0.82341212) × cos(1.34501043) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.223872380718306 × 6371000     		du = 68.3621246369583m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.34502116)-sin(1.34501043))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.223861923049263-0.223872380718306)×R²
    abs(0.82341212-0.82336419)×1.04576690432567e-05×R²
    4.79299999999183e-05×1.04576690432567e-05×6371000²
    4.79299999999183e-05×1.04576690432567e-05×40589641000000     		ar = 4673.18242966272m²