Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 82708 / 20131
↖ ↑ ↗
← N 77.057270°
E 47.164307°		 ← 68.41 m → N 77.057270°
E 47.167053°		 →
↑
68.36 m
↓
↑
68.36 m
↓
N 77.056656°
E 47.164307°		 ← 68.41 m →
4 677 m²		 N 77.056656°
E 47.167053°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 82708 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20131 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.631015777587891 y=0.153591156005859 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.631015777587891 × 217)
    floor (0.631015777587891 × 131072)
    floor (82708.5)     		tx = 82708
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.153591156005859 × 217)
    floor (0.153591156005859 × 131072)
    floor (20131.5)     		ty = 20131
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 82708 / 20131 ti = "17/82708/20131"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/82708/20131.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 82708 ÷ 217
    82708 ÷ 131072     		x = 0.631011962890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20131 ÷ 217
    20131 ÷ 131072     		y = 0.153587341308594
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.631011962890625 × 2 - 1) × π
    0.26202392578125 × 3.1415926535     		Λ = 0.82317244
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.153587341308594 × 2 - 1) × π
    0.692825317382812 × 3.1415926535     		Φ = 2.17657492724865
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.82317244} λ = 0.82317244}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.17657492724865))-π/2
    2×atan(8.816058845569)-π/2
    2×1.45784970478741-π/2
    2.91569940957482-1.57079632675     		φ = 1.34490308
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.82317244} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 47.164307°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.34490308 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.057270°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 82708 KachelY 20131 0.82317244 1.34490308 47.164307 77.057270
    Oben rechts KachelX + 1 82709 KachelY 20131 0.82322038 1.34490308 47.167053 77.057270
    Unten links KachelX 82708 KachelY + 1 20132 0.82317244 1.34489235 47.164307 77.056656
    Unten rechts KachelX + 1 82709 KachelY + 1 20132 0.82322038 1.34489235 47.167053 77.056656
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.34490308-1.34489235) × R
    1.07299999998478e-05 × 6371000     		dl = 68.3608299990304m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.34490308-1.34489235) × R
    1.07299999998478e-05 × 6371000     		dr = 68.3608299990304m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.82317244-0.82322038) × cos(1.34490308) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.223977004720634 × 6371000     		do = 68.4083424097383m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.82317244-0.82322038) × cos(1.34489235) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.223987462105965 × 6371000     		du = 68.4115363643915m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.34490308)-sin(1.34489235))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.223977004720634-0.223987462105965)×R²
    abs(0.82322038-0.82317244)×1.04573853310364e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.04573853310364e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.04573853310364e-05×40589641000000     		ar = 4676.56023673993m²