Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 82700 / 19824
↖ ↑ ↗
← N 77.244780°
E 47.142334°		 ← 67.42 m → N 77.244780°
E 47.145080°		 →
↑
67.47 m
↓
↑
67.47 m
↓
N 77.244173°
E 47.142334°		 ← 67.42 m →
4 549 m²		 N 77.244173°
E 47.145080°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 82700 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19824 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.630954742431641 y=0.151248931884766 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.630954742431641 × 217)
    floor (0.630954742431641 × 131072)
    floor (82700.5)     		tx = 82700
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.151248931884766 × 217)
    floor (0.151248931884766 × 131072)
    floor (19824.5)     		ty = 19824
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 82700 / 19824 ti = "17/82700/19824"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/82700/19824.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 82700 ÷ 217
    82700 ÷ 131072     		x = 0.630950927734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19824 ÷ 217
    19824 ÷ 131072     		y = 0.1512451171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.630950927734375 × 2 - 1) × π
    0.26190185546875 × 3.1415926535     		Λ = 0.82278895
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1512451171875 × 2 - 1) × π
    0.697509765625 × 3.1415926535     		Φ = 2.19129155543201
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.82278895} λ = 0.82278895}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.19129155543201))-π/2
    2×atan(8.9467608934261)-π/2
    2×1.45948603220132-π/2
    2.91897206440265-1.57079632675     		φ = 1.34817574
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.82278895} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 47.142334°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.34817574 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.244780°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 82700 KachelY 19824 0.82278895 1.34817574 47.142334 77.244780
    Oben rechts KachelX + 1 82701 KachelY 19824 0.82283688 1.34817574 47.145080 77.244780
    Unten links KachelX 82700 KachelY + 1 19825 0.82278895 1.34816515 47.142334 77.244173
    Unten rechts KachelX + 1 82701 KachelY + 1 19825 0.82283688 1.34816515 47.145080 77.244173
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.34817574-1.34816515) × R
    1.05900000000325e-05 × 6371000     		dl = 67.4688900002072m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.34817574-1.34816515) × R
    1.05900000000325e-05 × 6371000     		dr = 67.4688900002072m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.82278895-0.82283688) × cos(1.34817574) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.220786294779757 × 6371000     		do = 67.4197511701663m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.82278895-0.82283688) × cos(1.34816515) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.220796623429574 × 6371000     		du = 67.4229051476414m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.34817574)-sin(1.34816515))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.220786294779757-0.220796623429574)×R²
    abs(0.82283688-0.82278895)×1.0328649816399e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.0328649816399e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.0328649816399e-05×40589641000000     		ar = 4548.84217323105m²