Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 8270 / 4494
↖ ↑ ↗
← N 62.774837°
E  1.713867°		 ← 1 117.74 m → N 62.774837°
E  1.735840°		 →
↑
1 117.98 m
↓
↑
1 117.98 m
↓
N 62.764783°
E  1.713867°		 ← 1 118.12 m →
1 249 830 m²		 N 62.764783°
E  1.735840°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8270 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4494 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.504791259765625 y=0.274322509765625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.504791259765625 × 214)
    floor (0.504791259765625 × 16384)
    floor (8270.5)     		tx = 8270
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.274322509765625 × 214)
    floor (0.274322509765625 × 16384)
    floor (4494.5)     		ty = 4494
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 8270 / 4494 ti = "14/8270/4494"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/8270/4494.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8270 ÷ 214
    8270 ÷ 16384     		x = 0.5047607421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4494 ÷ 214
    4494 ÷ 16384     		y = 0.2742919921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5047607421875 × 2 - 1) × π
    0.009521484375 × 3.1415926535     		Λ = 0.02991263
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.2742919921875 × 2 - 1) × π
    0.451416015625 × 3.1415926535     		Φ = 1.41816523835974
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.02991263} λ = 0.02991263}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.41816523835974))-π/2
    2×atan(4.12953676960792)-π/2
    2×1.33321196217367-π/2
    2.66642392434734-1.57079632675     		φ = 1.09562760
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.02991263} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 1.713867°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.09562760 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 62.774837°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8270 KachelY 4494 0.02991263 1.09562760 1.713867 62.774837
    Oben rechts KachelX + 1 8271 KachelY 4494 0.03029612 1.09562760 1.735840 62.774837
    Unten links KachelX 8270 KachelY + 1 4495 0.02991263 1.09545212 1.713867 62.764783
    Unten rechts KachelX + 1 8271 KachelY + 1 4495 0.03029612 1.09545212 1.735840 62.764783
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.09562760-1.09545212) × R
    0.000175480000000006 × 6371000     		dl = 1117.98308000004m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.09562760-1.09545212) × R
    0.000175480000000006 × 6371000     		dr = 1117.98308000004m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.02991263-0.03029612) × cos(1.09562760) × R
    0.00038349 × 0.457488488178965 × 6371000     		do = 1117.74264057359m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.02991263-0.03029612) × cos(1.09545212) × R
    0.00038349 × 0.457644520678001 × 6371000     		du = 1118.12386148295m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.09562760)-sin(1.09545212))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.457488488178965-0.457644520678001)×R²
    abs(0.03029612-0.02991263)×0.000156032499036007×R²
    0.00038349×0.000156032499036007×6371000²
    0.00038349×0.000156032499036007×40589641000000     		ar = 1249830.46242513m²