Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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11 / 827 / 1598
↖ ↑ ↗
← S 70.495574°
W 34.628906°		 ← 6 526 m → S 70.495574°
W 34.453125°		 →
↑
6 516.58 m
↓
↑
6 516.58 m
↓
S 70.554179°
W 34.628906°		 ← 6 507.15 m →
42 465 794 m²		 S 70.554179°
W 34.453125°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 11 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 827 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1598 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.404052734375 y=0.780517578125 und der Vergrößerungsstufe zoom=11 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.404052734375 × 211)
    floor (0.404052734375 × 2048)
    floor (827.5)     		tx = 827
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.780517578125 × 211)
    floor (0.780517578125 × 2048)
    floor (1598.5)     		ty = 1598
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 11 / 827 / 1598 ti = "11/827/1598"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/11/827/1598.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 827 ÷ 211
    827 ÷ 2048     		x = 0.40380859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1598 ÷ 211
    1598 ÷ 2048     		y = 0.7802734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.40380859375 × 2 - 1) × π
    -0.1923828125 × 3.1415926535     		Λ = -0.60438843
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7802734375 × 2 - 1) × π
    -0.560546875 × 3.1415926535     		Φ = -1.76100994444238
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.60438843} λ = -0.60438843}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.76100994444238))-π/2
    2×atan(0.17187119578129)-π/2
    2×0.170208230220326-π/2
    0.340416460440652-1.57079632675     		φ = -1.23037987
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.60438843} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -34.628906°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.23037987 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.495574°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 827 KachelY 1598 -0.60438843 -1.23037987 -34.628906 -70.495574
    Oben rechts KachelX + 1 828 KachelY 1598 -0.60132047 -1.23037987 -34.453125 -70.495574
    Unten links KachelX 827 KachelY + 1 1599 -0.60438843 -1.23140272 -34.628906 -70.554179
    Unten rechts KachelX + 1 828 KachelY + 1 1599 -0.60132047 -1.23140272 -34.453125 -70.554179
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.23037987--1.23140272) × R
    0.00102285000000002 × 6371000     		dl = 6516.57735000013m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.23037987--1.23140272) × R
    0.00102285000000002 × 6371000     		dr = 6516.57735000013m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.60438843--0.60132047) × cos(-1.23037987) × R
    0.00306795999999998 × 0.333879679796468 × 6371000     		do = 6526.00325997112m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.60438843--0.60132047) × cos(-1.23140272) × R
    0.00306795999999998 × 0.332915350838873 × 6371000     		du = 6507.15451204856m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.23037987)-sin(-1.23140272))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.333879679796468-0.332915350838873)×R²
    abs(-0.60132047--0.60438843)×0.000964328957594962×R²
    0.00306795999999998×0.000964328957594962×6371000²
    0.00306795999999998×0.000964328957594962×40589641000000     		ar = 42465794.0704437m²