Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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11 / 827 / 1596
↖ ↑ ↗
← S 70.377854°
W 34.628906°		 ← 6 563.84 m → S 70.377854°
W 34.453125°		 →
↑
6 554.36 m
↓
↑
6 554.36 m
↓
S 70.436799°
W 34.628906°		 ← 6 544.90 m →
42 959 700 m²		 S 70.436799°
W 34.453125°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 11 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 827 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1596 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.404052734375 y=0.779541015625 und der Vergrößerungsstufe zoom=11 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.404052734375 × 211)
    floor (0.404052734375 × 2048)
    floor (827.5)     		tx = 827
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.779541015625 × 211)
    floor (0.779541015625 × 2048)
    floor (1596.5)     		ty = 1596
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 11 / 827 / 1596 ti = "11/827/1596"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/11/827/1596.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 827 ÷ 211
    827 ÷ 2048     		x = 0.40380859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1596 ÷ 211
    1596 ÷ 2048     		y = 0.779296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.40380859375 × 2 - 1) × π
    -0.1923828125 × 3.1415926535     		Λ = -0.60438843
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.779296875 × 2 - 1) × π
    -0.55859375 × 3.1415926535     		Φ = -1.75487402129102
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.60438843} λ = -0.60438843}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.75487402129102))-π/2
    2×atan(0.172929026295006)-π/2
    2×0.171235527526007-π/2
    0.342471055052013-1.57079632675     		φ = -1.22832527
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.60438843} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -34.628906°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.22832527 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.377854°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 827 KachelY 1596 -0.60438843 -1.22832527 -34.628906 -70.377854
    Oben rechts KachelX + 1 828 KachelY 1596 -0.60132047 -1.22832527 -34.453125 -70.377854
    Unten links KachelX 827 KachelY + 1 1597 -0.60438843 -1.22935405 -34.628906 -70.436799
    Unten rechts KachelX + 1 828 KachelY + 1 1597 -0.60132047 -1.22935405 -34.453125 -70.436799
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.22832527--1.22935405) × R
    0.00102877999999995 × 6371000     		dl = 6554.35737999969m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.22832527--1.22935405) × R
    0.00102877999999995 × 6371000     		dr = 6554.35737999969m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.60438843--0.60132047) × cos(-1.22832527) × R
    0.00306795999999998 × 0.335815671936321 × 6371000     		do = 6563.84411037466m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.60438843--0.60132047) × cos(-1.22935405) × R
    0.00306795999999998 × 0.334846457993195 × 6371000     		du = 6544.89988065602m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.22832527)-sin(-1.22935405))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.335815671936321-0.334846457993195)×R²
    abs(-0.60132047--0.60438843)×0.000969213943125935×R²
    0.00306795999999998×0.000969213943125935×6371000²
    0.00306795999999998×0.000969213943125935×40589641000000     		ar = 42959700.2490679m²